Оглавление
- 1 Численный анализ
- 1.1 Определение и применение численного анализа
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Ключевые понятия
- 1.4 Дискретизация и ошибки
- 1.5 Численная устойчивость и корректно поставленные задачи
- 1.6 Численный анализ и его области
- 1.7 Вычисление значений функций
- 1.8 Решение уравнений и систем уравнений
- 1.9 Решение задач на собственные или сингулярные значения
- 1.10 Оптимизация
- 1.11 Вычисление интегралов
- 1.12 Дифференциальные уравнения
- 1.13 Программное обеспечение
- 1.14 Производительность и точность
- 1.15 Дополнительные ресурсы
- 1.16 Введение в численный анализ для инженеров
- 1.17 Численный анализ – Численные методы
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Численный анализ
Численный анализ
-
Определение и применение численного анализа
- Численный анализ изучает алгоритмы, использующие численную аппроксимацию для решения задач математического анализа.
- Применяется в инженерии, физических науках, экономике, медицине, бизнесе и искусстве.
- Современные компьютеры позволяют создавать более сложные математические модели.
-
История и развитие
- Численные методы использовались с древних времен, например, в Вавилонской коллекции Йельского университета.
- Современные методы связаны с работами Джона фон Неймана и Германа Голдстайна в 1947 году.
- Механические калькуляторы и электронные вычислительные машины изменили численный анализ.
-
Ключевые понятия
- Прямые методы дают точный ответ за конечное число шагов, но используют конечную точность.
- Итерационные методы формируют последовательные приближения, сходящиеся к точному решению в пределе.
- Кондиционирование задач важно для предотвращения ошибок.
-
Дискретизация и ошибки
- Непрерывные задачи заменяются дискретными для упрощения вычислений.
- Ошибки возникают из-за округления, усечения и дискретизации.
- Ошибки распространяются по всему вычислительному процессу.
-
Численная устойчивость и корректно поставленные задачи
- Алгоритм численно устойчив, если ошибка не увеличивается в процессе вычисления.
- Хорошо сформулированные задачи имеют небольшие изменения решения при небольших изменениях данных.
-
Численный анализ и его области
- Численный анализ включает множество дисциплин, таких как вычисление значений функций, интерполяция, экстраполяция, регрессия, оптимизация, дифференциальные уравнения и другие.
- Важность точной арифметики и контроля ошибок округления.
-
Вычисление значений функций
- Интерполяция: нахождение значения функции между заданными точками.
- Экстраполяция: нахождение значения функции за пределами заданных точек.
- Регрессия: нахождение неизвестной функции по неточным данным.
-
Решение уравнений и систем уравнений
- Линейные уравнения: методы исключения Гаусса, LU-декомпозиция, разложение Холецкого, QR-декомпозиция.
- Нелинейные уравнения: метод Ньютона, линеаризация.
-
Решение задач на собственные или сингулярные значения
- Алгоритм спектрального сжатия изображений.
- Анализ главных компонент в статистике.
-
Оптимизация
- Линейное программирование: симплекс-метод.
- Метод множителей Лагранжа для задач с ограничениями.
-
Вычисление интегралов
- Методы Ньютона-Котеса, квадратура Гаусса.
- Методы Монте-Карло и Квазимонте-Карло для высоких измерений.
-
Дифференциальные уравнения
- Методы конечных элементов, конечных разностей, конечных объемов.
- Теоретическое обоснование на основе функционального анализа.
-
Программное обеспечение
- Репозитории Netlib, IMSL, NAG, научная библиотека GNU.
- Популярные приложения: MATLAB, TK Solver, S-PLUS, IDL, FreeMat, Scilab, GNU Octave, IT++.
- Языки программирования: R, Julia, Python с библиотеками NumPy, SciPy, SymPy.
-
Производительность и точность
- Векторные и матричные операции выполняются быстро.
- Скалярные циклы могут отличаться по скорости на порядок.
- Системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, используют арифметику произвольной точности.
-
Дополнительные ресурсы
- Журналы: SINUM, AMS.
- Учебники: Дэвид Кинкейд и Уорд Чейни.
- Онлайн-курсы и материалы: Численные методы, Численная интерполяция, дифференцирование и интегрирование.
-
Введение в численный анализ для инженеров
- Массачусетский технологический институт имени Хенрика Шмидта
- Численный анализ для инженерного дела, Д. W. Хардер, университет Ватерлоо
- Введение в численный анализ, Мэрилендский университет имени Дорона Леви
-
Численный анализ – Численные методы
- Джон Х. Мэтьюз, Калифорнийский государственный университет в Фуллертоне