Оглавление
Центр (теория групп)
-
Определение центра группы
- Центр группы G — это множество элементов, коммутирующих с каждым элементом группы G.
- Центр обозначается Z(G) и является нормальной подгруппой.
- Центр не обязательно полностью характеристический.
-
Свойства центра
- Центр всегда является подгруппой G.
- Центр содержит элемент тождества и замкнут относительно сопряжения.
- Центр абелевой группы равен всей группе.
- Центр бесцентровой группы тривиален.
-
Центральные элементы и классы сопряженности
- Центральные элементы — это элементы, класс сопряженности которых содержит только сам элемент.
- Центр — это пересечение всех централизаторов элементов G.
-
Сопряженность и внутренняя группа автоморфизмов
- Отображение f: G → Aut(G) является групповым гомоморфизмом, ядро которого — центр G.
- Внутренняя группа автоморфизмов Inn(G) изоморфна фактор-группе G / Z(G).
-
Примеры центров
- Центр абелевой группы — вся группа.
- Центр группы Гейзенберга — множество матриц вида (1 0 z 0 1 0 0 0 1).
- Центр неабелевой простой группы тривиален.
- Центр двугранной группы тривиален для нечетных n ≥ 3, для четных n ≥ 4 состоит из идентификационного элемента и поворота многоугольника на 180°.
- Центр группы кватернионов Q8 равен {1, -1}.
- Центр симметричной группы Sn тривиален для n ≥ 3.
- Центр чередующейся группы An тривиален для n ≥ 4.
- Центр общей линейной группы GLn(F) — совокупность скалярных матриц { sIn ∈ s ∈ F \ {0} }.
- Центр ортогональной группы On(F) — {In, −In}.
- Центр специальной ортогональной группы SO(n) — вся группа при n = 2, {In, −In} при четном n, тривиален при нечетном n.
- Центр единой группы U(n) — {e^iθ ⋅ I_n ∣ θ ∈ [0, 2π)}.
- Центр специальной унитарной группы SU(n) — {e^iθ ⋅ I_n ∣ θ = 2kπ/n, k = 0, 1, …, n-1}.
- Центр мультипликативной группы ненулевых кватернионов — мультипликативная группа ненулевых действительных чисел.
-
Высшие центры
- Деление на центр группы дает последовательность групп, называемую верхним центральным рядом.
- Ядром отображения G → Gi является i-й центр G.
- Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю.
- Для совершенной группы все высшие центры равны центру.