Оглавление
- 1 Топологическая группа
- 1.1 Определение топологических групп
- 1.2 Примеры топологических групп
- 1.3 Гомоморфизмы и изоморфизмы
- 1.4 Свойства топологических групп
- 1.5 Применение топологических групп
- 1.6 Базис окрестности идентификационного элемента
- 1.7 Симметричные окрестности
- 1.8 Однородное пространство
- 1.9 Разделительные свойства
- 1.10 Измеряемость
- 1.11 Теорема Биркгофа-Какутани
- 1.12 Подгруппы
- 1.13 Частные и нормальные подгруппы
- 1.14 Закрытие и компактность
- 1.15 Теоремы об изоморфизме
- 1.16 Изоморфизмы и топологические группы
- 1.17 Пятая проблема Гильберта
- 1.18 Представления компактных и локально компактных групп
- 1.19 Гомотопическая теория топологических групп
- 1.20 Полная топологическая группа
- 1.21 Каноническая однородность
- 1.22 Предварительные фильтры и сетки Коши
- 1.23 Полные подмножества и полные группы
- 1.24 Равномерная непрерывность
- 1.25 Равномерная непрерывность
- 1.26 Обобщения топологических групп
- 1.27 Другие топологические структуры
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Топологическая группа
Топологическая группа
-
Определение топологических групп
- Топологические группы — это группы и топологические пространства одновременно.
- Групповые операции и карта инверсии должны быть непрерывными.
- Топология должна быть совместима с групповыми операциями.
-
Примеры топологических групп
- Каждая группа может быть преобразована в топологическую с дискретной топологией.
- Реальные числа и евклидово пространство образуют топологические группы.
- Общая линейная группа GL(n, R) и ортогональная группа O(n) также являются топологическими группами.
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизм топологических групп — это непрерывный групповой гомоморфизм.
- Изоморфизм топологических групп — это групповой изоморфизм, который также является гомеоморфизмом.
-
Свойства топологических групп
- Топология каждой топологической группы инвариантна при переводе.
- Подмножества открыты или закрыты в группе тогда и только тогда, когда это верно для их переводов.
-
Применение топологических групп
- Топологические группы используются для изучения непрерывных симметрий.
- В функциональном анализе топологические группы применяются для изучения непрерывных скалярных умножений.
- Топологические группы важны в теории чисел и геометрии.
-
Базис окрестности идентификационного элемента
- Для всех x ∈ X, xN является основой соседства x в G.
- Любая групповая топология полностью определяется базисом окрестности в элементе идентичности.
-
Симметричные окрестности
- Операция инверсии является гомеоморфизмом из G в себя.
- Подмножество S симметрично, если S-1 = S.
- Замыкание каждого симметричного множества симметрично.
- Для любой окрестности N в G существует симметричная окрестность M, такая что M-1 M ∈ N.
-
Однородное пространство
- Топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство.
- Левая однородность превращает левые умножения в равномерно непрерывные отображения.
- Правая однородность превращает правильные умножения в равномерно непрерывные отображения.
-
Разделительные свойства
- Если U содержит компактное множество K, существует окрестность N, такая что KN ∈ U.
- Каждая коммутативная топологическая группа является полностью регулярной.
- Для мультипликативной топологической группы G эквивалентны T0, T2, T3, 1/2, замкнутость {1}, существование окрестности U для любого x ≠ 1.
-
Измеряемость
- Топологическая группа поддается метризации, если существует метрика d, индуцирующая данную топологию.
- Метрика d называется левоинвариантной, если d(ax1, ax2) = d(x1, x2) для всех a, x1, x2.
- Метрика d называется правильной, если все открытые шары B(r) для r > 0 предварительно компактны.
-
Теорема Биркгофа-Какутани
- G является (Хаусдорфовым и) первым счетным, если существует левоинвариантная метрика.
- G метризуемо, если существует левоинвариантная метрика.
- G является вторым счетным локально компактным, если существует левоинвариантная правильная метрика.
-
Подгруппы
- Каждая подгруппа топологической группы сама является топологической группой.
- Каждая открытая подгруппа замкнута.
- Замыкание подгруппы также является подгруппой.
-
Частные и нормальные подгруппы
- Множество левых смежных классов G / H является однородным пространством для G.
- Факторная группа G / H является топологической группой при заданной фактор-топологии.
- Компонент идентичности является замкнутой нормальной подгруппой.
-
Закрытие и компактность
- Произведение компактного множества и замкнутого множества замкнуто.
- Если H — подгруппа и N — окрестность единичного элемента, такая что H ∈ cl N, то H замкнута.
- Каждая дискретная подгруппа коммутативной топологической группы Хаусдорфа замкнута.
-
Теоремы об изоморфизме
- Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны для топологических групп.
- Существует версия первой теоремы об изоморфизме для топологических групп, утверждающая, что если f: G → H является морфизмом топологических групп, то индуцированный гомоморфизм f~: G/ker f → Im(f) является гомеоморфизмом.
-
Изоморфизмы и топологические группы
- Непрерывный гомоморфизм индуцирует изоморфизм от G/ker(f) до im(f), если отображение f открыто на его изображении.
- Третья теорема об изоморфизме верна для топологических групп.
-
Пятая проблема Гильберта
- Топологическая группа G, являющаяся топологическим многообразием, имеет структуру группы Ли.
- Каждая компактная группа является обратным пределом компактных групп Ли.
- Связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли.
-
Представления компактных и локально компактных групп
- Действие топологической группы на топологическое пространство является непрерывным.
- Представление топологической группы в вещественном или комплексном векторном пространстве является непрерывным действием.
- Компактные группы имеют хорошо изученные представления, включая неприводимые.
- Локально компактные группы обладают богатой теорией гармонического анализа.
-
Гомотопическая теория топологических групп
- Топологическая группа G определяет топологическое пространство BG.
- Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству циклов BG.
- Фундаментальная группа топологической группы G является абелевой.
- Кольцо когомологий H*(G, k) имеет структуру алгебры Хопфа.
- Связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K, единственную с точностью до сопряжения.
-
Полная топологическая группа
- Информация о сходимости сетей и фильтров доступна в статье о фильтрах в топологии.
- Каноническая однородность на коммутативной топологической группе является единой структурой, индуцированной множеством всех канонических окружений.
-
Каноническая однородность
- Каноническая однородность инвариантна к трансляции в коммутативных аддитивных группах.
- Каноническое единообразие достигается с помощью базиса окрестностей источника.
-
Предварительные фильтры и сетки Коши
- Предварительный фильтр Коши удовлетворяет условию сходимости к нулю.
- Сеть Коши сходится к нулю в аддитивной топологической группе.
-
Полные подмножества и полные группы
- Полные подмножества удовлетворяют условию сходимости сетей Коши.
- Полная группа удовлетворяет условию сходимости сетей Коши к одной точке.
-
Равномерная непрерывность
- Равномерная непрерывность определяется как сходимость сетей Коши к одной точке.
-
Равномерная непрерывность
- Функция f: D → Y равномерно непрерывна, если для каждой окрестности U в X существует окрестность V в Y такая, что для всех x, y ∈ D, если y − x ∈ U, то f(y) − f(x) ∈ V.
-
Обобщения топологических групп
- Полутопологическая группа: группа G с топологией, где для каждой c ∈ G функции x ∈ xc и x ∈ cx непрерывны.
- Квазитопологическая группа: полутопологическая группа с непрерывной функцией, отображающей элементы в их обратные значения.
- Паратопологическая группа: группа с топологией, где групповая работа непрерывна.
-
Другие топологические структуры
- Алгебраическая группа: алгебраическое многообразие с групповой структурой.
- Полное поле: алгебраическая структура, полная по отношению к метрическим страницам.
- Компактная группа: топологическая группа с компактной топологией.
- Полное топологическое векторное пространство: система, где точки, приближающиеся друг к другу, сходятся в точку.
- Группа Ли: группа, являющаяся дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
- Локально компактное поле: алгебраическая структура с локально компактной и Хаусдорфовой топологией.
- Локально компактная группа: топологическая группа с локально компактной и Хаусдорфовой топологией, где мера Хаара может быть определена.
- Локально компактная квантовая группа: C*-алгебраический подход к квантовым группам.
- Проконечная группа: топологическая группа, собранная из системы конечных групп.
- Упорядоченное топологическое векторное пространство: векторное пространство с упорядоченной топологией.
- Топологическая абелева группа: топологическая группа с абелевыми операциями.
- Топологическое поле: алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.
- Топологический модуль: алгебраическая структура с операциями, непрерывными на страницах.
- Топологическое кольцо: кольцо с непрерывными операциями.
- Топологическая полугруппа: полугруппа с непрерывной работой.
- Топологическое векторное пространство: векторное пространство с понятием близости.