Топологическая группа

Оглавление1 Топологическая группа1.1 Определение топологических групп1.2 Примеры топологических групп1.3 Гомоморфизмы и изоморфизмы1.4 Свойства топологических групп1.5 Применение топологических групп1.6 Базис окрестности […]

Оглавление

Топологическая группа

  • Определение топологических групп

    • Топологические группы — это группы и топологические пространства одновременно.  
    • Групповые операции и карта инверсии должны быть непрерывными.  
    • Топология должна быть совместима с групповыми операциями.  
  • Примеры топологических групп

    • Каждая группа может быть преобразована в топологическую с дискретной топологией.  
    • Реальные числа и евклидово пространство образуют топологические группы.  
    • Общая линейная группа GL(n, R) и ортогональная группа O(n) также являются топологическими группами.  
  • Гомоморфизмы и изоморфизмы

    • Гомоморфизм топологических групп — это непрерывный групповой гомоморфизм.  
    • Изоморфизм топологических групп — это групповой изоморфизм, который также является гомеоморфизмом.  
  • Свойства топологических групп

    • Топология каждой топологической группы инвариантна при переводе.  
    • Подмножества открыты или закрыты в группе тогда и только тогда, когда это верно для их переводов.  
  • Применение топологических групп

    • Топологические группы используются для изучения непрерывных симметрий.  
    • В функциональном анализе топологические группы применяются для изучения непрерывных скалярных умножений.  
    • Топологические группы важны в теории чисел и геометрии.  
  • Базис окрестности идентификационного элемента

    • Для всех x ∈ X, xN является основой соседства x в G.  
    • Любая групповая топология полностью определяется базисом окрестности в элементе идентичности.  
  • Симметричные окрестности

    • Операция инверсии является гомеоморфизмом из G в себя.  
    • Подмножество S симметрично, если S-1 = S.  
    • Замыкание каждого симметричного множества симметрично.  
    • Для любой окрестности N в G существует симметричная окрестность M, такая что M-1 M ∈ N.  
  • Однородное пространство

    • Топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство.  
    • Левая однородность превращает левые умножения в равномерно непрерывные отображения.  
    • Правая однородность превращает правильные умножения в равномерно непрерывные отображения.  
  • Разделительные свойства

    • Если U содержит компактное множество K, существует окрестность N, такая что KN ∈ U.  
    • Каждая коммутативная топологическая группа является полностью регулярной.  
    • Для мультипликативной топологической группы G эквивалентны T0, T2, T3, 1/2, замкнутость {1}, существование окрестности U для любого x ≠ 1.  
  • Измеряемость

    • Топологическая группа поддается метризации, если существует метрика d, индуцирующая данную топологию.  
    • Метрика d называется левоинвариантной, если d(ax1, ax2) = d(x1, x2) для всех a, x1, x2.  
    • Метрика d называется правильной, если все открытые шары B(r) для r > 0 предварительно компактны.  
  • Теорема Биркгофа-Какутани

    • G является (Хаусдорфовым и) первым счетным, если существует левоинвариантная метрика.  
    • G метризуемо, если существует левоинвариантная метрика.  
    • G является вторым счетным локально компактным, если существует левоинвариантная правильная метрика.  
  • Подгруппы

    • Каждая подгруппа топологической группы сама является топологической группой.  
    • Каждая открытая подгруппа замкнута.  
    • Замыкание подгруппы также является подгруппой.  
  • Частные и нормальные подгруппы

    • Множество левых смежных классов G / H является однородным пространством для G.  
    • Факторная группа G / H является топологической группой при заданной фактор-топологии.  
    • Компонент идентичности является замкнутой нормальной подгруппой.  
  • Закрытие и компактность

    • Произведение компактного множества и замкнутого множества замкнуто.  
    • Если H — подгруппа и N — окрестность единичного элемента, такая что H ∈ cl N, то H замкнута.  
    • Каждая дискретная подгруппа коммутативной топологической группы Хаусдорфа замкнута.  
  • Теоремы об изоморфизме

    • Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны для топологических групп.  
    • Существует версия первой теоремы об изоморфизме для топологических групп, утверждающая, что если f: G → H является морфизмом топологических групп, то индуцированный гомоморфизм f~: G/ker f → Im(f) является гомеоморфизмом.  
  • Изоморфизмы и топологические группы

    • Непрерывный гомоморфизм индуцирует изоморфизм от G/ker(f) до im(f), если отображение f открыто на его изображении.  
    • Третья теорема об изоморфизме верна для топологических групп.  
  • Пятая проблема Гильберта

    • Топологическая группа G, являющаяся топологическим многообразием, имеет структуру группы Ли.  
    • Каждая компактная группа является обратным пределом компактных групп Ли.  
    • Связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли.  
  • Представления компактных и локально компактных групп

    • Действие топологической группы на топологическое пространство является непрерывным.  
    • Представление топологической группы в вещественном или комплексном векторном пространстве является непрерывным действием.  
    • Компактные группы имеют хорошо изученные представления, включая неприводимые.  
    • Локально компактные группы обладают богатой теорией гармонического анализа.  
  • Гомотопическая теория топологических групп

    • Топологическая группа G определяет топологическое пространство BG.  
    • Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству циклов BG.  
    • Фундаментальная группа топологической группы G является абелевой.  
    • Кольцо когомологий H*(G, k) имеет структуру алгебры Хопфа.  
    • Связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K, единственную с точностью до сопряжения.  
  • Полная топологическая группа

    • Информация о сходимости сетей и фильтров доступна в статье о фильтрах в топологии.  
    • Каноническая однородность на коммутативной топологической группе является единой структурой, индуцированной множеством всех канонических окружений.  
  • Каноническая однородность

    • Каноническая однородность инвариантна к трансляции в коммутативных аддитивных группах.  
    • Каноническое единообразие достигается с помощью базиса окрестностей источника.  
  • Предварительные фильтры и сетки Коши

    • Предварительный фильтр Коши удовлетворяет условию сходимости к нулю.  
    • Сеть Коши сходится к нулю в аддитивной топологической группе.  
  • Полные подмножества и полные группы

    • Полные подмножества удовлетворяют условию сходимости сетей Коши.  
    • Полная группа удовлетворяет условию сходимости сетей Коши к одной точке.  
  • Равномерная непрерывность

    • Равномерная непрерывность определяется как сходимость сетей Коши к одной точке.  
  • Равномерная непрерывность

    • Функция f: D → Y равномерно непрерывна, если для каждой окрестности U в X существует окрестность V в Y такая, что для всех x, y ∈ D, если y − x ∈ U, то f(y) − f(x) ∈ V.  
  • Обобщения топологических групп

    • Полутопологическая группа: группа G с топологией, где для каждой c ∈ G функции x ∈ xc и x ∈ cx непрерывны.  
    • Квазитопологическая группа: полутопологическая группа с непрерывной функцией, отображающей элементы в их обратные значения.  
    • Паратопологическая группа: группа с топологией, где групповая работа непрерывна.  
  • Другие топологические структуры

    • Алгебраическая группа: алгебраическое многообразие с групповой структурой.  
    • Полное поле: алгебраическая структура, полная по отношению к метрическим страницам.  
    • Компактная группа: топологическая группа с компактной топологией.  
    • Полное топологическое векторное пространство: система, где точки, приближающиеся друг к другу, сходятся в точку.  
    • Группа Ли: группа, являющаяся дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.  
    • Локально компактное поле: алгебраическая структура с локально компактной и Хаусдорфовой топологией.  
    • Локально компактная группа: топологическая группа с локально компактной и Хаусдорфовой топологией, где мера Хаара может быть определена.  
    • Локально компактная квантовая группа: C*-алгебраический подход к квантовым группам.  
    • Проконечная группа: топологическая группа, собранная из системы конечных групп.  
    • Упорядоченное топологическое векторное пространство: векторное пространство с упорядоченной топологией.  
    • Топологическая абелева группа: топологическая группа с абелевыми операциями.  
    • Топологическое поле: алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.  
    • Топологический модуль: алгебраическая структура с операциями, непрерывными на страницах.  
    • Топологическое кольцо: кольцо с непрерывными операциями.  
    • Топологическая полугруппа: полугруппа с непрерывной работой.  
    • Топологическое векторное пространство: векторное пространство с понятием близости.  

Полный текст статьи:

Топологическая группа

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх