Цоколь (математика)
-
Цоколь в теории групп
- Цоколь группы G, обозначаемый soc(G), является подгруппой, порожденной минимальными нормальными подгруппами.
- Если группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы, цоколь определяется как подгруппа, порожденная идентификатором.
- Цоколь является прямым произведением минимальных нормальных подгрупп.
- В качестве примера рассматривается циклическая группа Z12 с двумя минимальными нормальными подгруппами, одна из которых порождена u4, а другая — u6.
- Цоколь является характерной подгруппой и нормальной подгруппой, но не обязательно транзитивно нормальной.
- Если G — конечная разрешимая группа, цоколь может быть выражен как произведение элементарных абелевых p-групп.
-
Цоколь модуля
- В теории модулей и колец цоколь модуля M над кольцом R — это сумма минимальных ненулевых подмодулей M.
- Цоколь кольца R может быть определен как сумма минимальных ненулевых подмодулей, рассматриваемых как правый или левый R-модуль.
- Оба эти цоколя являются кольцевыми идеалами и могут быть не равны.
- Если M — артинов модуль, soc(M) является существенным подмодулем M.
- Если M — полуартинов модуль, soc(M) является существенным подмодулем M.
- Если M — ненулевой модуль над левым полуартиновым кольцом, soc(M) является существенным подмодулем M.
- Полупростые модули имеют soc(M) = M, а кольца с soc(M) = M для всех M являются полупростыми.
- Если R — конечномерная унитальная алгебра, а M — конечно порожденный R-модуль, цоколь состоит из элементов, аннигилируемых радикалом Якобсона в R.
-
Цоколь алгебры Ли
- В алгебре Ли цоколь симметричной алгебры Ли — это собственное пространство ее структурного автоморфизма, соответствующее собственному значению -1.
Полный текст статьи: