Девятиточечный центр

• Определение девятиточечного центра

  • Девятиточечный центр — это точка, не зависящая от расположения треугольника. 
  • Он является центром девятиугольной окружности, проходящей через значимые точки треугольника. 

• Свойства девятиточечного центра

  • Он лежит на линии Эйлера треугольника и является центром окружности Эйлера. 
  • Центроид треугольника также лежит на этой прямой, но на расстоянии 2/3 от ортоцентра. 
  • Если известны центры трех треугольников, можно определить положение двух других. 

• Теорема Эйлера

  • Эндрю Гинанд доказал, что если известны центры четырех треугольников, центр неизвестного треугольника находится внутри ортоцентроидной окружности. 

• Другие свойства

  • Центр из девяти точек является центром окружности медиального треугольника, ортогонального треугольника и треугольника Эйлера. 
  • Он находится в точке пересечения трех вершин и ортоцентра треугольника. 

• Линии Эйлера и отражения

  • Линии Эйлера четырех треугольников, связанных с ортоцентрической системой, пересекаются в девятиточечном центре. 
  • Отражения трех средних точек треугольника относительно девятиточечного центра соответствуют медиальному треугольнику и треугольнику Эйлера. 

• Теорема Лестера и изогональное сопряжение

  • Центр из девяти точек лежит на общей окружности с двумя другими точками, включая центр окружности. 
  • Точка Косниты, связанная с теоремой Косниты, изогонально сопряжена с девятиточечным центром. 

• Координаты девятиточечного центра

  • Существуют трехлинейные и барицентрические координаты для девятиточечного центра. 
  • Барицентрические координаты могут быть отрицательными, если углы при вершине отличаются более чем на 90°. 

• Рекомендации

  • Ссылки на внешние источники для дополнительной информации.