Оглавление
- 1 Дифференцируемый стек
- 1.1 Определение дифференцируемого стека
- 1.2 Определение через групповидные расслоения
- 1.3 Определение через 2-функторы
- 1.4 Определение через эквивалентности Мориты
- 1.5 Эквивалентность между определениями
- 1.6 Теорема Доретты Пронк
- 1.7 Дифференцируемые стеки
- 1.8 Дифференцируемый по факторам стек
- 1.9 Дифференциальное пространство
- 1.10 Топология Гротендика
- 1.11 Гербы
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Дифференцируемый стек
Дифференцируемый стек
-
Определение дифференцируемого стека
- Дифференцируемый стек — аналог алгебраического стека в дифференциальной геометрии.
- Может быть описан как стек над дифференцируемыми многообразиями или как группоид Ли с точностью до эквивалентности Мориты.
- Полезен для обработки пространств с особенностями, таких как орбифолды и листовые пространства.
-
Определение через групповидные расслоения
- Категория, расслоенная в группоидах, состоит из категории C и функтора π: C → Mfd.
- Волокнистая категория C удовлетворяет свойствам склеивания, что позволяет определить волокно π-1(U) для каждого объекта U в Mfd.
- Стопка — это групповидное расслоение, удовлетворяющее дополнительным свойствам склеивания.
- Дифференцируемый стек — это стек с представительным погружением FX → C для многообразия X.
-
Определение через 2-функторы
- Предварительный набор (группоидов) в категории C — это 2-функтор X: Copp → Grp.
- Стопка — это предварительная стопка, удовлетворяющая дополнительным свойствам склеивания.
- Геометрический стек — это стек на C = Mfd, допускающий атлас M_ → X.
-
Определение через эквивалентности Мориты
- Группоид Ли состоит из двух дифференцируемых многообразий G и M с сюръективными погружениями и картой частичного умножения.
- Два группоида Ли эквивалентны Морита, если существует основной би-пакет между ними.
- Дифференцируемый стек — это класс эквивалентности Мориты некоторого группоида Ли G ⇉ M.
-
Эквивалентность между определениями
- Любая волокнистая категория C → Mdf определяет 2-функтор X: Mdfopp → Grp.
- Любой 2-функтор X: Mdfopp → Grp порождает категорию C, объекты которой — пары (U, x) из многообразия U и объекта x ∈ X(U).
- Группоид Ли G ⇉ M приводит к дифференцируемому стеку BG: Mfdopp → Grp, который отправляет многообразие N к категории G-торсоров на N.
- Любой дифференцируемый стек X: Mfdopp → Grp может быть представлен группоидом Ли GX: M×X M ⇉ M.
-
Теорема Доретты Пронк
- Эквивалентность бикатегорий между дифференцируемыми стеками и группоидами Ли
- Примеры: многообразие, группа лжи, слоение, орбифолд
-
Дифференцируемые стеки
- Многообразие определяет дифференцируемый стек
- Группа лжи определяет дифференцируемый стек BG
- Слоение определяет дифференцируемый стек через конечные пространства
- Орбифолд является дифференцируемым стеком
-
Дифференцируемый по факторам стек
- Действие группы лжи на многообразии определяет дифференцируемый стек [M/G]
- Морфизм стека M → [M/G] определяется через эквивариантные карты
- [M/G] соответствует классу эквивалентности Мориты группоида действий
-
Дифференциальное пространство
- Дифференцируемое пространство — дифференцируемый стек с тривиальными стабилизаторами
- Пример: частное от действия группы Ли на многообразии
-
Топология Гротендика
- Дифференцируемый стек X может быть оснащен топологией Гротендика
- Пучок ΩXp дифференциальных p-форм задается через многообразие U
- Структурный пучок OX обозначается ΩXp
-
Гербы
- Эпиморфизм G → X называется гербом над X, если G → G × X G также эпиморфизм
- Теорема Жиро: H2(X, S1) соответствует набору гербов над X, локально изоморфных BS1 × X → X