Эквивалентные определения математических структур
- В математике эквивалентные определения используются двумя способами: в рамках конкретной математической теории и в рамках математической структуры.
- В первом случае эквивалентность означает, что математический объект удовлетворяет одному определению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет другому определению.
- Во втором случае значение эквивалентности является более сложным, так как структура является более абстрактной, чем объект.
- Множество различных объектов могут реализовывать одну и ту же структуру, например, натуральные числа могут быть реализованы как 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}} и так далее.
- Изоморфные реализации натуральных чисел изоморфны как модели аксиом Пеано.
- Упорядоченная полукольцевая структура (N, +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано с помощью процедуры, а структура Пеано выводится из упорядоченной полукольцевой структуры с помощью другой процедуры.
- Две изоморфные реализации натуральных чисел изоморфны как тройки (N,0,S).
- Упорядоченная полукольцевая структура имеет другую сигнатуру (+, ·, ≤), состоящую из двух двоичных функций и одного двоичного отношения.
- Понятие изоморфизма неприменимо к структурам с разными сигнатурами, например, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу, но упорядоченное полукольцо, полученное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу.
Полный текст статьи: