Эквивалентные определения математических структур

• В математике эквивалентные определения используются двумя способами: в рамках конкретной математической теории и в рамках математической структуры. 
• В первом случае эквивалентность означает, что математический объект удовлетворяет одному определению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет другому определению. 
• Во втором случае значение эквивалентности является более сложным, так как структура является более абстрактной, чем объект. 
• Множество различных объектов могут реализовывать одну и ту же структуру, например, натуральные числа могут быть реализованы как 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}} и так далее. 
• Изоморфные реализации натуральных чисел изоморфны как модели аксиом Пеано. 
• Упорядоченная полукольцевая структура (N, +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано с помощью процедуры, а структура Пеано выводится из упорядоченной полукольцевой структуры с помощью другой процедуры. 
• Две изоморфные реализации натуральных чисел изоморфны как тройки (N,0,S). 
• Упорядоченная полукольцевая структура имеет другую сигнатуру (+, ·, ≤), состоящую из двух двоичных функций и одного двоичного отношения. 
• Понятие изоморфизма неприменимо к структурам с разными сигнатурами, например, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу, но упорядоченное полукольцо, полученное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу.