Оглавление
- 1 Эта функция Дирихле
- 1.1 Определение функции Дирихле eta
- 1.2 Функциональные уравнения и нули
- 1.3 Задача Ландау и решения
- 1.4 Доказательство исчезновения eta при s ≠ 1
- 1.5 Определение дзета-функции
- 1.6 Определение и свойства дзета-функции
- 1.7 Интегральные представления
- 1.8 Численные алгоритмы
- 1.9 Особые значения
- 1.10 Производные
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Эта-функция Дирихле
Эта функция Дирихле
-
Определение функции Дирихле eta
- Функция Дирихле eta определяется рядом Дирихле, сходящимся для комплексных чисел с действительной частью > 0.
- Функция eta является переменной дзета-функцией и связана с дзета-функцией Римана.
-
Функциональные уравнения и нули
- Функция eta удовлетворяет функциональному уравнению, связанному с дзета-функцией.
- Нули функции eta включают все нули дзета-функции и дополнительные нули, связанные с множителем 1-21-s.
-
Задача Ландау и решения
- Задача Ландау о нулях функции eta была решена с помощью функции λ, аналогичной eta, но с множителем 3 вместо 2.
- Функция λ аналитична для ℜ(s) > 0 и имеет нули, отличные от нулей eta.
-
Доказательство исчезновения eta при s ≠ 1
- Дж. Сондоу доказал, что eta(s) = 0 при s ≠ 1 с помощью специальных сумм Римана.
- Это доказательство основано на соотношении между частичными суммами рядов Дирихле для eta и дзета-функций.
-
Определение дзета-функции
- Дзета-функция Римана может быть определена через eta и λ.
- Знаменатели в этих определениях не равны нулю одновременно, за исключением s = 1.
- Дзета-функция аналитична для ℜ(s) > 0, за исключением s = 1.
-
Определение и свойства дзета-функции
- Дзета-функция определяется как предел отношения eta(s) к 1-2^s при s → s_n.
- Дзета-функция аналитична везде в ℜs > 0, за исключением s = 1.
- При s = 1, дзета-функция равна 1.
-
Интегральные представления
- Дзета-функция может быть выражена через интегралы, такие как преобразование Меллина и преобразование Коши-Шлемильха.
- Линделеф предложил формулу для всей комплексной плоскости.
- Дженсен предложил формулу для всей функции (s-1)ζ(s).
-
Численные алгоритмы
- Методы ускорения рядов могут быть использованы для оценки функции eta.
- Метод Борвейна использует полиномы Чебышева для эффективной оценки.
-
Особые значения
- η(0) = 1/2, η(-1) = 1/4.
- Для k > 1, η(1-k) = 2^k-1/kBk.
- η(1) = ln 2, η(2) = π^2/12.
- η(4) = 7π^4/720, η(6) = 31π^6/30240.
- η(8) = 127π^8/1209600, η(10) = 73π^10/6842880.
- η(12) = 1414477π^12/1307674368000.
- η(∞) = 1.
-
Производные
- Производная по s для s ≠ 1 равна 2^1-s ln(2)ζ(s) + (1-2^1-s)ζ'(s).
- η'(1) = ln(2)γ – ln(2)^22^-1.