Оглавление [Скрыть]
- 1 Фильтрация (математика)
- 1.1 Определение фильтрации
- 1.2 Примеры фильтрации
- 1.3 Топологии, связанные с фильтрацией
- 1.4 Фильтрации в теории измерения
- 1.5 Связь со временем остановки
- 1.6 Определение времени остановки
- 1.7 Информационная кодировка
- 1.8 Минимальные множества
- 1.9 Измеримость времени остановки
- 1.10 Связь между τ1 и τ2
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Фильтрация (математика) – Википедия
Фильтрация (математика)
-
Определение фильтрации
- Фильтрация — это индексированное семейство подобъектов заданной алгебраической структуры.
- Индекс может быть временным параметром стохастического процесса.
- Фильтрация может быть нисходящей или восходящей.
-
Примеры фильтрации
- В алгебре фильтрация индексируется по натуральным числам.
- В группах фильтрация — это вложенная последовательность нормальных подгрупп.
- В кольцах и модулях фильтрация — это убывающая или возрастающая последовательность подмодулей.
-
Топологии, связанные с фильтрацией
- Топология, связанная с фильтрацией, делает объект топологическим.
- Две фильтрации определяют одну и ту же топологию, если для любой подгруппы одной фильтрации существует меньшая подгруппа другой фильтрации.
-
Фильтрации в теории измерения
- В теории измерения фильтрация — это возрастающая последовательность σ-алгебр в измеримом пространстве.
- Отфильтрованное вероятностное пространство — это вероятностное пространство с фильтрацией σ-алгебр.
- Фильтрация используется для представления изменений в наборе событий, которые можно измерить.
-
Связь со временем остановки
- Фильтрация связана с сигма-алгебрами времени остановки.
- Случайная величина τ: Ω → [0, ∞] определяет время остановки.
-
Определение времени остановки
- Время остановки определяется как σ-алгебра, где {τ ≤ t} ∈ Ft для всех t ≥ 0.
- Нетрудно показать, что Ft действительно является σ-алгеброй.
-
Информационная кодировка
- Набор Ft кодирует информацию с точностью до случайного времени τ.
- Если отфильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, максимальная информация достигается при повторении эксперимента до τ.
-
Минимальные множества
- Если вероятностное пространство конечно, минимальные множества Ft предоставляются профсоюзом по всем t ≥ 0 из множеств минимальных множеств Ft, лежащих в {τ = t}.
-
Измеримость времени остановки
- Можно показать, что τ является Ft-измеримым.
- Простые примеры показывают, что в целом σ(τ) ≠ Ft.
-
Связь между τ1 и τ2
- Если τ1 и τ2 продолжаются время остановки, и τ1 ≤ τ2, почти наверняка Ft1 ⊆ Ft2.