Оглавление
- 1 Формальный групповой закон
- 1.1 Формальные групповые законы
- 1.2 Определение и примеры
- 1.3 Гомоморфизмы и изоморфизмы
- 1.4 Алгебры Ли и формальные групповые законы
- 1.5 Логарифм и инвариантный дифференциал
- 1.6 Формальное групповое кольцо
- 1.7 Высота гомоморфизмов
- 1.8 Высота формального группового закона
- 1.9 Примеры формальных групповых законов
- 1.10 Универсальное кольцо Лазарда
- 1.11 Формальные группы
- 1.12 Законы формальной группы Любина–Тейта
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Формальный групповой закон
Формальный групповой закон
-
Формальные групповые законы
- Формальные групповые законы — это степенные ряды, ведущие себя как группы Ли.
- Они были введены С. Бохнером в 1946 году.
- Формальные группы являются промежуточными между группами Ли и алгебрами Ли.
-
Определение и примеры
- Одномерный формальный групповой закон — это степенной ряд F(x, y) с коэффициентами в коммутативном кольце R.
- F(x, y) = x + y + члены более высокой степени и F(x, F(y, z)) = F(F(x, y), z).
- Примеры: аддитивный формальный групповой закон F(x, y) = x + y, мультипликативный формальный групповой закон F(x, y) = x^2 + y^2.
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизм от формального группового закона F к G — это набор f из n степенных рядов по m переменным.
- Изоморфизм — это гомоморфизм с обратным значением, называемый строгим изоморфизмом.
- Два формальных групповых закона с изоморфизмом отличаются только “изменением координат”.
-
Алгебры Ли и формальные групповые законы
- Любой n-мерный формальный групповой закон дает n-мерную алгебру Ли над кольцом R.
- Над полями с характеристикой 0 формальные групповые законы эквивалентны алгебрам Ли.
- Над полями с ненулевой характеристикой формальные групповые законы сохраняют больше информации, чем алгебры Ли.
-
Логарифм и инвариантный дифференциал
- Логарифм коммутативного формального группового закона над коммутативной Q-алгеброй R строго изоморфен аддитивному формальному групповому закону.
- Логарифм можно записать через инвариантный дифференциал ω(t).
-
Формальное групповое кольцо
- Формальное групповое кольцо формального группового закона — это кокоммутативная алгебра Хопфа.
- Формальные групповые законы можно рассматривать как функторы от коммутативных R-алгебр к группам.
-
Высота гомоморфизмов
- Гомоморфизмы между формальными групповыми законами над полем с характеристикой p > 0 имеют высоту h.
-
Высота формального группового закона
- Высота формального группового закона определяется как высота его умножения на отображение p.
- Два формальных групповых закона изоморфны, если они имеют одинаковую высоту.
- Высота может быть любым положительным целым числом или θ.
-
Примеры формальных групповых законов
- Закон аддитивной формальной группы имеет высоту θ.
- Мультипликативный формальный групповой закон имеет высоту 1.
- Формальный групповой закон эллиптической кривой имеет высоту 1 или 2 в зависимости от типа кривой.
-
Универсальное кольцо Лазарда
- Существует универсальное коммутативное кольцо R, порожденное элементами ci,j.
- Кольцо R обладает универсальным свойством: оно изоморфно градуированному кольцу коэффициентов комплексного кобордизма.
-
Формальные группы
- Формальная группа – это групповой объект в категории формальных схем.
- Формальное завершение гладкой групповой схемы изоморфно Spf(R[[T1, …, Tn]]).
- Формальная гладкость утверждает существование подъемов деформаций.
-
Законы формальной группы Любина–Тейта
- Формальный групповой закон Любина–Тейта – это уникальный закон, такой, что e(x) = px + xp является эндоморфизмом.
- Для каждого элемента a в Zp существует уникальный эндоморфизм f, такой, что f(x) = ax + члены более высокой степени.
- Конструкция введена Любином и Тейтом для выделения локальной полевой части теории комплексного умножения эллиптических функций.