Оглавление [Скрыть]
- 1 Формулировка интеграла по траектории
- 1.1 История и развитие интеграла по траекториям
- 1.2 Основные идеи и формулировки
- 1.3 Принцип квантового действия
- 1.4 Классический предел
- 1.5 Классический предел и интеграл по траектории
- 1.6 Интерпретация Фейнмана
- 1.7 Вывод с сокращением времени
- 1.8 Интеграл по траектории в терминах волновой функции
- 1.9 Вероятностная интерпретация интеграла по траектории
- 1.10 Простой гармонический генератор
- 1.11 Разложение R(T) по степеням e−iwT
- 1.12 Кулоновский потенциал и фейнмановское приближение
- 1.13 Уравнение Шредингера и интеграл по траектории
- 1.14 Уравнения движения и интеграл по траектории
- 1.15 Приближение к стационарной фазе
- 1.16 Канонические коммутационные соотношения
- 1.17 Частица в искривленном пространстве
- 1.18 Теоретико-измерительные факторы
- 1.19 Математические ожидания и элементы матрицы
- 1.20 Вращение фитиля и формула Фейнмана–Каца
- 1.21 Интеграл по траектории и его связь со статистической механикой
- 1.22 Квантовая теория поля и её аспекты
- 1.23 Проблемы и решения в квантовой механике
- 1.24 Распространитель и его роль в квантовой механике
- 1.25 Функция Грина и её связь с уравнением Шредингера
- 1.26 Интерпретация величин для свертки волновой функции
- 1.27 Релятивистская теория и пропагатор
- 1.28 Представление Швингера
- 1.29 Нерелятивистский предел и античастицы
- 1.30 Функционалы полей и квантовая теория поля
- 1.31 Ожидаемые значения и вероятность
- 1.32 Уравнения Швингера–Дайсона
- 1.33 Определение функционалов и уравнений Швингера-Дайсона
- 1.34 Локализация и квантовая теория поля
- 1.35 Теорема Нетер и квантовый аналог
- 1.36 Тождества Уорда-Такахаси
- 1.37 Предостережения и регуляризация
- 1.38 Интеграл по траектории в квантовой механике
- 1.39 Квантовая гравитация и квантовое туннелирование
- 1.40 Дополнительные ресурсы
- 1.41 Полный текст статьи:
- 2 Формулировка интеграла по траекториям
Формулировка интеграла по траектории
-
История и развитие интеграла по траекториям
- Интеграл по траекториям обобщает принцип стационарного действия классической механики.
- Заменяет классическое понятие траектории суммой по бесконечному множеству квантово-механических траекторий.
- Позволяет легко изменять координаты между каноническими описаниями системы.
- Устраняет проблемы лоренц-ковариации и унитарности.
-
Основные идеи и формулировки
- Интеграл по траекториям связывает квантовые и стохастические процессы.
- Уравнение Шредингера является уравнением диффузии с мнимой постоянной диффузии.
- Интеграл траекторий оказал влияние на физику полимеров, квантовую теорию поля, теорию струн и космологию.
-
Принцип квантового действия
- Гамильтониан в квантовой механике является генератором временных перемещений.
- Лагранжиан является более фундаментальной величиной в контексте специальной теории относительности.
- Преобразование Лежандра трудно интерпретировать в квантовой механике из-за неопределенности траектории.
-
Классический предел
- Дирак определил влияние классического предела на квантовую форму принципа действия.
- В классическом пределе интеграл по траекториям сводится к сумме по стационарным точкам функции F.
-
Классический предел и интеграл по траектории
- Интеграл по траектории в квантовой механике имеет классический аналог ∫tT L dt.
- В пределе действия, большого по сравнению с постоянной Планка, интеграл по траектории переходит в классические результаты.
- Классический путь возникает в классическом пределе.
-
Интерпретация Фейнмана
- Фейнман показал, что квантовое действие Дирака равно классическому действию, дискретизированному.
- Классическое действие — это фаза, приобретенная в результате квантовой эволюции.
- Фейнман предложил вывести квантовую механику из постулатов вероятности и амплитуды вероятности.
-
Вывод с сокращением времени
- Интеграл по траектории аппроксимируется зигзагообразными траекториями.
- В пределе n → ∞ интеграл становится функциональным интегралом, который является произведением амплитуд вероятности.
-
Интеграл по траектории в терминах волновой функции
- Формула интеграла по траектории включает интеграцию по всем путям и нормализующий фактор.
- Для свободных частиц интеграл может быть вычислен в явном виде.
-
Вероятностная интерпретация интеграла по траектории
- Сумма экспоненциального коэффициента по всем путям интерпретируется как вероятность выбора пути.
- Вероятность выбора сегмента зависит от вероятности выбора предыдущего сегмента.
- Интеграл по траектории подчиняется уравнению диффузии.
-
Простой гармонический генератор
- Лагранжиан для простого гармонического осциллятора включает классическую траекторию и возмущение.
- Вклад возмущения в действие можно вычислить через ряд Фурье.
- Распространитель можно записать в терминах собственных состояний энергии.
-
Разложение R(T) по степеням e−iwT
- Все члены в разложении умножаются на e−iwT/2
- Сравнение с разложением по собственным состояниям дает стандартный энергетический спектр
-
Кулоновский потенциал и фейнмановское приближение
- Сингулярность кулоновского потенциала e2/r требует замены времени на псевдовременной параметр
- Преобразование Дюру-Кляйнерта устраняет сингулярность и делает интеграл интегрируемым
-
Уравнение Шредингера и интеграл по траектории
- Интеграл по траектории воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояний
- Показатель действия включает кинетическую и потенциальную энергии
-
Уравнения движения и интеграл по траектории
- Интеграл по траектории воспроизводит уравнения движения Гейзенберга
- Изменение интеграла от сдвига переменных равно нулю для произвольного начального состояния
-
Приближение к стационарной фазе
- При уменьшении θ экспонента быстро колеблется в комплексной области
- В пределе, когда θ стремится к нулю, только точки с неизменным действием вносят вклад
-
Канонические коммутационные соотношения
- Величины x и p не коммутируют в интеграле по траектории
- Фейнман обнаружил некоммутативность в броуновском блуждании
-
Частица в искривленном пространстве
- Для частицы в искривленном пространстве кинетический член зависит от положения
- Преобразование интеграла траектории в криволинейное пространство решает проблему упорядочения операторов
-
Теоретико-измерительные факторы
- В функциональном интеграле могут быть коэффициенты, основанные на теории меры
- Эти коэффициенты необходимы для восстановления унитарности
-
Математические ожидания и элементы матрицы
- Матричные элементы принимают форму, обобщающую несколько операторов
- Интегралы по евклидовым путям часто используются в квантовой теории поля
-
Вращение фитиля и формула Фейнмана–Каца
- Вращение фитиля изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову
- Формула Фейнмана–Каца дает строгую версию интеграла Фейнмана по траекториям
-
Интеграл по траектории и его связь со статистической механикой
- Интеграл по траектории обобщает интеграл для всех задач квантовой механики.
- В классическом пределе интеграл по траектории доминирует над интегралом по всем путям.
- Интеграл по траектории с поворотом Вика напоминает статистическую функцию распределения.
-
Квантовая теория поля и её аспекты
- Квантовая теория поля включает электромагнетизм, слабую и мощную силы.
- Теория поля включает различные симметрии, такие как С-симметрия и калибровочная симметрия.
- Квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика являются важными разделами теории поля.
-
Проблемы и решения в квантовой механике
- Подходы Шредингера и Гейзенберга выделяют время и не соответствуют теории относительности.
- Интеграл по траектории релятивистский и воспроизводит уравнение Шредингера.
- Интеграл по траектории требует более тщательной математики и не всегда был принят сразу.
-
Распространитель и его роль в квантовой механике
- Распространитель описывает амплитуду вероятности перемещения частицы из точки x в точку y за время T.
- В нерелятивистской формулировке распространитель вычисляется из интеграла по траектории.
- В релятивистской формулировке распространитель является суммой по всем конфигурациям поля.
-
Функция Грина и её связь с уравнением Шредингера
- Функция Грина является обратной величиной оператора, уничтожающего волновую функцию.
- Функция Грина может быть получена из преобразования Фурье в p-пространстве.
- Бесконечно малый член в знаменателе гарантирует, что обратное преобразование Фурье будет отличным от нуля только в будущем.
-
Интерпретация величин для свертки волновой функции
- Величины необходимы для свертки конечной волновой функции в начальную.
- Параметр E может быть энергией или отрицательным значением энергии в зависимости от направления пути.
-
Релятивистская теория и пропагатор
- В релятивистской теории пропагатор определяется как сумма всех путей между двумя точками.
- Интеграл по траекториям интерпретируется как сумма по всем путям длины Τ.
- Сумма по путям описывает среднее значение вероятности по пути.
-
Представление Швингера
- Пропагатор может быть выражен через преобразование Фурье по переменной (x − y).
- В p-пространстве пропагатор является евклидовым распространителем скалярной частицы.
-
Нерелятивистский предел и античастицы
- В нерелятивистском пределе пропагатор имеет частотное распределение, сосредоточенное вблизи p0 = m.
- Второй член интерпретируется как античастица с положительной энергией.
- В релятивистском случае пропагатор включает траектории, идущие назад во времени.
-
Функционалы полей и квантовая теория поля
- Функционалы полей описывают возможные изменения поля во времени.
- Интеграл по траекториям в квантовой теории поля интегрируется по всем возможным конфигурациям поля.
- Функциональный интеграл похож на статистическую сумму в статистической механике.
-
Ожидаемые значения и вероятность
- Ожидаемые значения вакуума задаются функционалом S конфигураций полей.
- Интеграл по траектории обеспечивает надлежащую нормализацию.
- Условная вероятность P(B|A) определяется как P(A∩B) / P(A).
-
Уравнения Швингера–Дайсона
- Уравнения Швингера–Дайсона являются квантовыми аналогами уравнений Эйлера–Лагранжа.
- Уравнения описывают стационарное состояние действия при небольших изменениях конфигурации поля.
- Уравнения могут быть интегрированы по частям для получения уравнений для математического ожидания.
-
Определение функционалов и уравнений Швингера-Дайсона
- Функционал F[K] заменяет K на φ
- Основное уравнение Швингера-Дайсона: F[K] = G[J]
- Функциональная мера может быть выражена как произведение M[φ] Dφ
-
Локализация и квантовая теория поля
- Интегралы по траекториям ограничиваются конечной причинно-следственной областью
- Локализация дает более точное и физически строгое определение квантовой теории поля
-
Теорема Нетер и квантовый аналог
- Функциональная мера должна быть инвариантной относительно группы параметров преобразования симметрии
- Квантовый аналог теоремы Нетер: интеграл находится за границей
-
Тождества Уорда-Такахаси
- Q – локальный интеграл, где Q зависит от φ и его первых частных производных
- Функциональная мера локально инвариантна
-
Предостережения и регуляризация
- Интегралы по траекториям требуют регуляторов и перенормировки
- Заказ рецепта важен для разрешения неоднозначности между некоммутативными операторами и коммутативными функциями
-
Интеграл по траектории в квантовой механике
- Интеграл по траекториям считается фундаментальным в интерпретации “суммы по историям”
- Метод суммирования по историям объясняет парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
-
Квантовая гравитация и квантовое туннелирование
- Интеграл по траекториям может быть распространен на квантовую гравитацию
- Квантовое туннелирование моделируется с помощью интеграла траектории
-
Дополнительные ресурсы
- Курс для математиков по пертурбативной квантовой теории поля
- Историческая справка и библиография
- Внешние ссылки и видеоматериалы