Оглавление
Фундаментальный класс
-
Определение фундаментального класса
- Фундаментальный класс [M] связан с связным ориентируемым компактным многообразием размерности n.
- Он соответствует генератору группы гомологий Hn(M, ∂M; Z) ≅ Z.
- Фундаментальный класс можно рассматривать как ориентацию многомерных симплексов триангуляции многообразия.
-
Ориентируемые многообразия
- Если M связное ориентируемое замкнутое многообразие, Hn(M; Z) ≅ Z.
- Ориентация — это выбор генератора, изоморфизма Z → Hn(M; Z).
- Фундаментальный класс является генератором группы гомологий.
- Если M отключено, фундаментальный класс является прямой суммой фундаментальных классов для каждого компонента.
-
Когомологии де Рама
- Для гладкого многообразия M n-форма ω может быть сопряжена с фундаментальным классом как интеграл от ω над M.
- Интеграл зависит только от класса когомологий ω.
-
Класс Стифеля-Уитни
- Если M не поддается ориентации, Hn(M; Z) ≆ Z, и фундаментальный класс не может быть определен.
- Каждое замкнутое многообразие является Z2-ориентируемым и имеет Z2-фундаментальный класс.
- Этот Z2-фундаментальный класс используется при определении класса Стифеля-Уитни.
-
Многообразия с границей
- Если M компактное ориентируемое многообразие с границей, Hn(M, ∂M) ≅ Z.
- Понятие фундаментального класса может быть распространено на многообразие с границей.
-
Двойственность Пуанкаре
- Теорема двойственности Пуанкаре связывает группы гомологий и когомологий ориентированных замкнутых многообразий.
- Двойственность Пуанкаре может быть распространена на многообразия с границей.
- Произведение cap с фундаментальным классом дает более сильный результат двойственности.
-
Приложения
- В разложении Брюа многообразия флагов группы Ли фундаментальный класс соответствует ячейке Шуберта верхнего измерения.
- Фундаментальный класс также связан с самым длинным элементом группы Кокстера.