Оглавление
- 1 Функционал Минковского
- 1.1 Определение функционала Минковского
- 1.2 Свойства функционала Минковского
- 1.3 Примеры и мотивирующие примеры
- 1.4 Условия, гарантирующие полунорму
- 1.5 Свойства поглощающих дисков
- 1.6 Абсолютная однородность
- 1.7 Выпуклость и субаддитивность
- 1.8 Сбалансированность и абсолютная однородность
- 1.9 Алгебраические свойства
- 1.10 Топологические свойства
- 1.11 Минимальные требования к съемочной площадке
- 1.12 Основные свойства функционалов Минковского
- 1.13 Доказательства основных свойств
- 1.14 Примеры
- 1.15 Положительная однородность и функционалы Минковского
- 1.16 Функционалы Минковского и их свойства
- 1.17 Характеризующие функционалы Минковского
- 1.18 Характеризующие функционалы Минковского на множествах звезд
- 1.19 Характеризующие функционалы Минковского, которые являются полунормами
- 1.20 Положительные сублинейные функции и функционалы Минковского
- 1.21 Соответствие между открытыми выпуклыми множествами и положительными непрерывными сублинейными функциями
- 1.22 Стилизация и форматирование цитат
- 1.23 Идентификаторы и блокировки
- 1.24 Значки и иконки
- 1.25 Корпусные и внешние элементы
- 1.26 Ошибки и маркеры
- 1.27 Библиографическое описание
- 1.28 Дальнейшее чтение
- 1.29 Полный текст статьи:
- 2 Функционал Минковского .
Функционал Минковского
-
Определение функционала Минковского
- Функционал Минковского (или калибровочная функция) восстанавливает понятие расстояния в линейном пространстве.
- Определяется как функция pK: X → [0, ∞], где pK(x) = inf{r > 0: x ∈ rK}.
- Нижняя граница пустого множества определяется как положительная бесконечность.
-
Свойства функционала Минковского
- Функционал Минковского всегда неотрицателен (pK ≥ 0).
- Может не иметь реального значения, если {r > 0: x ∈ rK} пусто.
- Для того, чтобы pK имел реальную ценность, необходимо, чтобы K поглощало в X.
-
Примеры и мотивирующие примеры
- В нормированном векторном пространстве pU(x) = ‖x‖.
- В векторном пространстве без топологии pK(x) = 1/a|f(x)|.
-
Условия, гарантирующие полунорму
- Для pK быть полунормой, K должно быть поглощающим диском в X.
- Если K поглощает в X, pK является полунормой и положительно однородным.
-
Свойства поглощающих дисков
- Если K является выпуклым, pK субаддитивен.
- Если K сбалансировано, pK сбалансировано.
-
Абсолютная однородность
- pK(sx) = |s|pK(x) для всех скаляров s
-
Выпуклость и субаддитивность
- pK(x + y) ≤ pK(x) + pK(y) для всех x, y
- pK(x) > pK(y) получается после очевидной модификации
-
Сбалансированность и абсолютная однородность
- pK(λx) = |λ|pK(x) для всех λ
-
Алгебраические свойства
- pK является полунормой на X
- pK является нормой на X тогда и только тогда, когда K не содержит нетривиального векторного подпространства
- psK = 1/|s|pK для любого s ≠ 0
- Если J ⊆ K, то pK ≤ pJ
- Если K удовлетворяет {x ∈ X: p(x) < 1} ⊆ K ⊆ {x ∈ X: p(x) ≤ 1}, то K поглощает в X и p = pK
- Если q — полунорма на X, то q = p тогда и только тогда, когда {x ∈ X: q(x) < 1} ⊆ K ⊆ {x ∈ X: q(x) ≤ 1}
- Если x ∈ X удовлетворяет pK(x) < 1, то x ∈ K
-
Топологические свойства
- IntXK ⊆ {x ∈ X: pK(x) < 1} ⊆ K ⊆ {x ∈ X: pK(x) ≤ 1} ⊆ ClXK
- pK является непрерывным тогда и только тогда, когда K является окрестностью начала координат в X
- Если pK является непрерывным, то IntXK = {x ∈ X: pK(x) < 1} и ClXK = {x ∈ X: pK(x) ≤ 1}
-
Минимальные требования к съемочной площадке
- pK(0) ≠ ∞ тогда и только тогда, когда 0 ∈ K
- pK(x) = 0 тогда и только тогда, когда (0,∞)x ⊆ (0,1)K
- pK−1([0,R]) = ⋂e>0(0,R+e)K
- Если R > 0, то эти множества равны тогда и только тогда, когда K содержит {y ∈ X: pK(y) = 1}
- Задание L ↦ pL является изменяющим порядок
- Если D = {y ∈ X: pK(y) = 1 или pK(y) = 0}, то pD = pK и x ∈ rD тогда и только тогда, когда pD(x) = r или pD(x) = 0
- pK является субаддитивным тогда и только тогда, когда (0,1)K является выпуклым
- Если K является выпуклым, то (0,1)K и (0,1]K также являются выпуклыми и pK является субаддитивным
-
Основные свойства функционалов Минковского
- Функционалы Минковского являются сбалансированными функциями.
- Если множество поглощает в X, то и K поглощает в X.
- Если K выпукло и 0 ∈ K, то [0,1]K = K.
- Ограничение на векторное подпространство: pK|S = pK∩S.
-
Доказательства основных свойств
- Доказательство поглощения: выпуклое подмножество, удовлетворяющее (0,∞)A = X, поглощает в X.
- Доказательство положительной однородности: pK(tx) = t pK(x) для всех x ∈ X и t ≥ 0.
- Доказательство абсолютной однородности: pK(sx) = pK(x) для всех x ∈ X и s, удовлетворяющих |s| = 1.
-
Примеры
- pK∪L(x) = min{pK(x), pL(x)}.
- pI(x) = sup{pL(x): L ∈ L}.
- (0,R]K ⊆ ⋂e>0(0,R+e)K.
-
Положительная однородность и функционалы Минковского
- Теорема: f: X → [0,∞] является функционалом Минковского тогда и только тогда, когда f(tx) ≤ tf(x) для всех x ∈ X и t > 0.
- Если f(tx) = tf(x) для всех t > 0, то f(x) = pK(x).
-
Функционалы Минковского и их свойства
- Функционал Минковского pK(x) определяется как pK(x) = 1, если x ∈ K и pK(x) ≤ 1, если x ∉ (0,1)K.
- pK(x) ≥ 1, если x ∉ (0,1)K, что достигается, если x = rk для некоторого r и k ∈ K.
-
Характеризующие функционалы Минковского
- Функционалы Минковского могут быть использованы для описания вещественнозначных сублинейных функций.
- Функционалы Минковского могут быть записаны в терминах уникальных функционалов Минковского, обладающих определенными свойствами.
-
Характеризующие функционалы Минковского на множествах звезд
- Множество K имеет звездообразную форму в начале координат, если tk ∈ K для всех k ∈ K и 0 ≤ t ≤ 1.
- Множество, имеющее форму звезды, называется звездным множеством.
-
Характеризующие функционалы Минковского, которые являются полунормами
- Функционал Минковского pK является полунормой на X тогда и только тогда, когда (0,∞)K = X и pK имеет реальное значение.
- Это условие выполняется, если K сбалансирован или uK ⊆ K для всех единичных скаляров u.
-
Положительные сублинейные функции и функционалы Минковского
- Вещественнозначная субаддитивная функция f: X → R непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда она равномерно непрерывна.
- Если f(0) = 0, то f непрерывна тогда и только тогда, когда |f|: X → [0,∞) является непрерывным.
- Неотрицательная сублинейная функция f: X → [0,∞) удовлетворяет неравенству треугольника.
-
Соответствие между открытыми выпуклыми множествами и положительными непрерывными сублинейными функциями
- Непустые открытые выпуклые подмножества X являются наборами вида z + {x ∈ X: p(x) < 1} для некоторых z ∈ X и положительной непрерывной сублинейной функции p на X.
- Если V ≠ ∅, то V = z + {x ∈ X: p(x) < 1} для некоторого z ∈ V и p = pK, где K = V − z.
- p является непрерывной сублинейной функцией на X с V − z, выпуклым, поглощающим и открытым.
-
Стилизация и форматирование цитат
- Цитирование с использованием наследования шрифта и брейк-слов
- Использование кавычек для цитирования
- Настройка фонового цвета для цитат
-
Идентификаторы и блокировки
- Идентификаторы для различных типов блокировок: бесплатно, общество, регистрация, подписка
- Настройка ссылок на изображения для идентификаторов
-
Значки и иконки
- Значок для Викимедиа
- Настройка размера и расположения значков
-
Корпусные и внешние элементы
- Настройка внешнего вида элементов для различных тем
- Настройка цвета и размеров элементов
-
Ошибки и маркеры
- Настройка отображения ошибок и маркеров
- Настройка цвета для различных состояний ошибок
-
Библиографическое описание
- Настройка шрифта и веса для библиографического описания
- Настройка цвета для различных медиа-экранов
-
Дальнейшее чтение
- Ссылка на статью о моделировании адсорбции в порах кремнезема