Функция Ляпунова
-
Определение функций Ляпунова
- Функции Ляпунова используются для доказательства устойчивости равновесия в ОДУ.
- Они важны для теории устойчивости динамических систем и управления.
- Аналогичные концепции существуют в теории марковских цепей.
-
Необходимость и достаточность функций Ляпунова
- Для некоторых классов ОДУ наличие функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием устойчивости.
- Нет общего метода построения функций Ляпунова, но существуют конкретные методы для определенных типов систем.
-
Определение функции Ляпунова
- Функция Ляпунова для автономной системы с точкой равновесия в 0 является скалярной функцией с определенными свойствами.
- Существуют условия для производной по времени, чтобы она была строго отрицательной или положительно определенной.
-
Обсуждение терминов
- Функции Ляпунова возникают при изучении точек равновесия динамических систем.
- В Rn любая автономная система может быть записана в виде уравнения с функцией g.
- Точка равновесия — это точка, в которой g(y) = 0.
-
Основные теоремы Ляпунова
- Если равновесие изолировано и функция Ляпунова-кандидата локально положительно определена и локально отрицательно определена, то равновесие является локально асимптотически устойчивым.
- Если функция Ляпунова-кандидата является устойчивой, то равновесие устойчиво по Ляпунову.
- Если функция Ляпунова-кандидата глобально положительно определена, радиально неограничена и производная по времени глобально отрицательно определена, то равновесие является глобально асимптотически устойчивым.
-
Пример функции Ляпунова
- В качестве примера можно рассмотреть функцию Ляпунова V(x) = x2 для дифференциального уравнения на R.
- Эта функция показывает, что дифференциальное уравнение асимптотически устойчиво относительно начала координат.
Полный текст статьи: