Оглавление
- 1 Функция плотности вероятности
- 1.1 Определение функции плотности вероятности
- 1.2 Пример использования PDF
- 1.3 Абсолютно непрерывные одномерные распределения
- 1.4 Формальное определение PDF
- 1.5 Связь между дискретным и непрерывным распределениями
- 1.6 Вероятности и распределения
- 1.7 Семейства плотностей
- 1.8 Плотности для нескольких переменных
- 1.9 Независимость
- 1.10 Пример
- 1.11 Изменение переменных
- 1.12 От скаляра к скаляру
- 1.13 От вектора к вектору
- 1.14 Преобразование вектора в скаляр
- 1.15 Доказательство свертки
- 1.16 Суммы независимых случайных величин
- 1.17 Произведения и коэффициенты независимых случайных величин
- 1.18 Пример: частное от двух стандартных нормалей
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Функция плотности вероятности
Функция плотности вероятности
-
Определение функции плотности вероятности
- Функция плотности вероятности (PDF) определяет вероятность попадания случайной величины в определенный диапазон значений.
- PDF используется для непрерывных случайных величин, в отличие от дискретных, где используется функция вероятностной массы (PMF).
- PDF неотрицательна и площадь под кривой равна 1.
-
Пример использования PDF
- Вероятность гибели бактерии в течение 5 часов можно выразить через PDF.
- PDF позволяет определить вероятность гибели бактерии в течение бесконечно малого промежутка времени.
-
Абсолютно непрерывные одномерные распределения
- PDF чаще всего ассоциируется с абсолютно непрерывными одномерными распределениями.
- PDF определяется как производная кумулятивной функции распределения.
- PDF может принимать значения больше единицы, например, для равномерного распределения.
-
Формальное определение PDF
- PDF определяется как производная меры Лебега.
- PDF почти уникальна и совпадает почти везде.
-
Связь между дискретным и непрерывным распределениями
- Дискретные случайные величины могут быть представлены с помощью обобщенной функции плотности вероятности.
- Дельта-функция Дирака используется для представления дискретных значений.
-
Вероятности и распределения
- Вероятности связаны с значениями дискретных и непрерывных распределений.
- Статистические характеристики дискретных переменных определяются через непрерывные распределения.
-
Семейства плотностей
- Функции плотности вероятности параметризуются для описания различных распределений.
- Нормальное распределение параметризуется средним значением и дисперсией.
- Параметры описывают различные распределения в одном пространстве выборок.
-
Плотности для нескольких переменных
- Совместная функция плотности вероятности описывает распределение набора переменных.
- Предельная плотность связана с интегралом по всем значениям других переменных.
-
Независимость
- Непрерывные случайные величины независимы, если их совместная плотность равна произведению функций предельной плотности.
-
Пример
- Двумерный случайный вектор (X, Y) имеет совместную плотность, интегрируемую по всем значениям переменных.
-
Изменение переменных
- Функция плотности вероятности Y = g(X) может быть вычислена через интеграл по X.
- Закон бессознательного статистика связывает интегралы через дельта-функцию.
-
От скаляра к скаляру
- Монотонные функции преобразуют плотность через обратную функцию.
- Для немонотонных функций используется сумма производных.
-
От вектора к вектору
- Биективные дифференцируемые функции преобразуют плотность через якобиан.
- В двумерном случае используется якобиан, обратный функции.
-
Преобразование вектора в скаляр
- Дифференцируемая функция V преобразует вектор X в скаляр Y.
- Функция плотности вероятности Y = V(X) определяется через интеграл по X и дельта-функцию.
-
Доказательство свертки
- Светодиод Z является свернутой случайной величиной с функцией плотности вероятности pZ(z) = δ(z).
- Приведите случайный вектор X и трансформацию H, определяемую как H(Z, X) = [Z + V(X) X].
- Якобиан H−1 равен [1 − dV(x~) dx~ 0n×1 In×n], что является верхней треугольной матрицей с определителем 1.
- Применяя теорему об изменении переменных, получаем fY,X(y, x) = fX(x) δ(y − V(x)).
-
Суммы независимых случайных величин
- Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин U и V является сверткой их функций плотности.
- Можно обобщить на сумму N независимых случайных величин с плотностями U1,…, UN.
-
Произведения и коэффициенты независимых случайных величин
- Плотность произведения Y = UV и частное Y = U/V могут быть вычислены с помощью изменения переменных.
- Пример: частное Y = U/V двух независимых случайных величин U и V.
- Преобразование: Y = U/V, Z = V.
- Плотность соединения B(y, z) может быть вычислена путем изменения переменных от U,V к Y,Z.
- Y может быть получена путем маргинализации Z из плотности соединения.
- Обратное преобразование: U = YZ, V = Z.
- Абсолютное значение определителя матрицы Якобиана равно |z|.
- p(y, z) = p(u, v) J(u, v ∣ y, z) = p(u) p(v) J(u, v ∣ y, z) = pU(yz) pV(z) |z|.
- Распределение Y может быть вычислено путем маргинализации из Z.
-
Пример: частное от двух стандартных нормалей
- p(y) = ∫−∞∞ pU(yz) pV(z) |z| dz.
- Интеграл равен 2 ∫0∞ 1/2π e−1/2(y2+1)z2 z dz.
- Плотность стандартного распределения Коши.