Оглавление
Функтор Hom
-
Определение и свойства функтора Hom
- Функтор Hom отображает объекты одной категории в объекты другой категории.
- Hom является обратным функтору Ex, который отображает объекты в категории в их морфизмы.
- Hom сохраняет структуру категории, то есть, если A является подмножеством B, то Hom(A, B) является подмножеством Hom(B, B).
-
Примеры функтора Hom
- Hom(A, B) отображает морфизмы из A в B на морфизмы из B в A.
- Hom(A, A) отображает морфизмы из A в A на тождественные морфизмы.
- В категории множеств Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними.
-
Применение функтора Hom
- В категории групп Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними, с учетом умножения.
- В категории векторных пространств Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними, с учетом скалярного произведения.
-
Закрытые категории и внутренние функторы
- Закрытые категории обладают внутренним функтором Hom, который сохраняет структуру категории.
- В замкнутой моноидальной категории Hom является сопряженным функтором с функтором произведения.
- Изоморфизм является естественным для Hom.
-
Свойства функтора Hom
- Hom является предпучком и сопучком.
- Hom(A, -) может быть представлен как представимый функтор или корепрезентируемый функтор.
- Hom сохраняет ограничения и может быть использован для определения пределов.
-
Дополнительные свойства и примеры
- Если A – абелева категория, то HomA(A, -) является левосторонним функтором.
- В случае кольца и модуля HomR(M, -) сопряжен с тензорным произведением.
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Статья содержит ссылки на внешние ресурсы и дополнительные свойства функтора Hom.
Полный текст статьи: