Функтор Hom

• Определение и свойства функтора Hom

  • Функтор Hom отображает объекты одной категории в объекты другой категории. 
  • Hom является обратным функтору Ex, который отображает объекты в категории в их морфизмы. 
  • Hom сохраняет структуру категории, то есть, если A является подмножеством B, то Hom(A, B) является подмножеством Hom(B, B). 

• Примеры функтора Hom

  • Hom(A, B) отображает морфизмы из A в B на морфизмы из B в A. 
  • Hom(A, A) отображает морфизмы из A в A на тождественные морфизмы. 
  • В категории множеств Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними. 

• Применение функтора Hom

  • В категории групп Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними, с учетом умножения. 
  • В категории векторных пространств Hom(A, B) отображает элементы A на элементы B, связанные с ними, с учетом скалярного произведения. 

• Закрытые категории и внутренние функторы

  • Закрытые категории обладают внутренним функтором Hom, который сохраняет структуру категории. 
  • В замкнутой моноидальной категории Hom является сопряженным функтором с функтором произведения. 
  • Изоморфизм является естественным для Hom. 

• Свойства функтора Hom

  • Hom является предпучком и сопучком. 
  • Hom(A, -) может быть представлен как представимый функтор или корепрезентируемый функтор. 
  • Hom сохраняет ограничения и может быть использован для определения пределов. 

• Дополнительные свойства и примеры

  • Если A — абелева категория, то HomA(A, -) является левосторонним функтором. 
  • В случае кольца и модуля HomR(M, -) сопряжен с тензорным произведением. 

• Рекомендации и внешние ссылки

  • Статья содержит ссылки на внешние ресурсы и дополнительные свойства функтора Hom.