Гауссова квадратура
-
История и развитие квадратуры Гаусса
- Квадратура Гаусса была разработана в 1810 году и является одним из самых известных методов численного интегрирования.
- Метод основан на использовании многочленов Чебышева для аппроксимации подынтегральной функции и интерполяции ее значений в узлах.
- Гаусс использовал свой метод для вычисления интегралов от функций, которые были интегрируемы по частям.
-
Применение и модификации
- Квадратура Гаусса широко используется в вычислительной математике и физике для решения интегралов, которые не могут быть вычислены аналитически.
- Метод был усовершенствован многими математиками, включая Якоби, Стоера и Булирша, и адаптирован для различных приложений.
- Существуют различные модификации квадратуры Гаусса, включая правила Гаусса-Кронрода и квадратуру Лобатто, которые обеспечивают более высокую точность для определенных типов функций.
-
Алгоритм и оценка ошибок
- Алгоритм квадратуры Гаусса основан на рекуррентном соотношении для многочленов Чебышева и ортогональности этих многочленов.
- Для оценки ошибок в квадратурном правиле Гаусса используется производная подынтегрального выражения.
- В случае функции с одной производной, оценка погрешности может быть неудобной, поэтому используются правила Гаусса-Кронрода для оценки разницы между двумя результатами.
-
Рекомендации
- В статье приведены ссылки на работы Гаусса, Якоби, Абрамовица и Стегуна, а также других авторов, которые внесли вклад в развитие квадратуры Гаусса.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: