Оглавление
- 1 Геодезический
- 1.1 Определение геодезических
- 1.2 Геодезические в римановой геометрии
- 1.3 Примеры геодезических
- 1.4 Геодезические в метрической геометрии
- 1.5 Геодезические в общей теории относительности
- 1.6 Аффинные геодезические
- 1.7 Геодезические и их свойства
- 1.8 Геодезический поток
- 1.9 Геодезический аэрозоль
- 1.10 Аффинные и проективные геодезические
- 1.11 Вычислительные методы
- 1.12 Примеры применения
- 1.13 Обзор геодезии
- 1.14 Полностью геодезическое подмногообразие
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Геодезические – Википедия
Геодезический
-
Определение геодезических
- Геодезические кривые представляют собой кратчайший путь между двумя точками на поверхности или в римановом многообразии.
- Термин происходит от геодезии и обобщает понятие прямой линии.
- В римановом многообразии геодезические характеризуются исчезающей геодезической кривизной.
-
Геодезические в римановой геометрии
- Геодезические определяются как кривые, минимизирующие расстояние между точками.
- В метрической геометрии геодезические минимизируют расстояние локально.
- В римановой геометрии геодезические параметризуются с постоянной скоростью.
-
Примеры геодезических
- Прямые линии в евклидовой геометрии являются геодезическими.
- На сфере геодезические линии — это большие окружности.
- На эллипсоиде геодезические не замкнуты.
-
Геодезические в метрической геометрии
- В метрическом пространстве геодезические могут быть только постоянными кривыми.
- Метрическая теорема Хопфа-Ринова описывает ситуации, когда пространство длин становится геодезическим.
-
Геодезические в общей теории относительности
- В общей теории относительности геодезические описывают движение свободно падающих частиц.
- Траектории падающего камня, вращающегося спутника и орбиты планеты — это геодезические.
-
Аффинные геодезические
- Геодезические на гладком многообразии с аффинной связью определяются как кривые, сохраняющие касательный вектор.
- В локальных координатах геодезическое уравнение записывается через символы Кристоффеля.
-
Геодезические и их свойства
- Геодезические линии определяются уравнением ∇γ˙γ˙ = 0, где γ˙ — скорость кривой.
- Движение полностью определяется изгибом поверхности.
- Геодезические существуют и уникальны на гладких многообразиях с аффинной связью.
-
Геодезический поток
- Геодезический поток — это локальное R-воздействие на касательный пучок многообразия.
- Замкнутая орбита геодезического потока соответствует замкнутой геодезической.
- На римановых многообразиях геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком.
-
Геодезический аэрозоль
- Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном пучке.
- Производные этих кривых определяют векторное поле на касательном расслоении.
- Связь должна быть эквивариантной при положительных масштабированиях для получения геодезического аэрозоля.
-
Аффинные и проективные геодезические
- Уравнение геодезических инвариантно относительно аффинных перепараметризаций.
- Аффинная связь определяется семейством аффинно параметризованных геодезических.
- Проективная связь описывает геодезические без определенной параметризации.
-
Вычислительные методы
- Эффективные решения для минимальной геодезической задачи предложены Митчеллом, Киммелом, Крейном и другими.
- Ленточный тест — способ нахождения геодезической линии на физической поверхности.
-
Примеры применения
- Геодезические линии используются в топологии, геометрической теории групп, теории вероятностей, статистике, машинном обучении, физике, биологии и инженерном искусстве.
- В физике геодезические линии моделируют траектории частиц в классической механике и теории относительности.
- В биологии геодезические линии используются для изучения нервных систем и белковых структур.
- В инженерном искусстве геодезические данные применяются для расчета геодезических планеров, сооружений, расстояний и рендеринга.
-
Обзор геодезии
- Введение в геодезию
- Два способа вывода уравнения геодезической
- Приложения в геометрии (геодезическая на сфере и на торе)
- Приложения в механике (брахистохрона)
- Приложения в оптике (световой луч в неоднородной среде)
-
Полностью геодезическое подмногообразие
- В атласе многообразий