Оглавление
Геометрическая медиана
-
Определение геометрической медианы
- Геометрическая медиана минимизирует сумму расстояний до точек выборки в евклидовом пространстве.
- Это обобщает медиану для одномерных данных.
- Также известна как пространственная медиана, евклидова минимальная точка, точка Торричелли или 1-медиана.
-
Свойства геометрической медианы
- В одномерном случае совпадает с медианой.
- Уникальна, если точки не находятся на одной прямой.
- Эквивариантна для евклидовых преобразований подобия.
- Имеет значение 0,5, что означает, что до половины данных могут быть искажены без изменения медианы.
-
Особые случаи
- Для 3 точек: если угол треугольника больше 120°, медиана в вершине угла, иначе внутри треугольника.
- Для 4 копланарных точек: если одна точка внутри треугольника, медиана в этой точке, иначе точка пересечения диагоналей четырехугольника.
-
Вычисление геометрической медианы
- Центроид может быть найден с помощью простой формулы, но для геометрической медианы нет явной формулы.
- Используются численные или символьные приближения.
- Алгоритм Вайсфельда является итеративным методом для нахождения приближений.
-
Характеристика геометрической медианы
- y является геометрической медианой, если удовлетворяет определенным условиям.
- Это эквивалентно условию, что сумма положительных направлений от y с каждой стороны одинакова.
-
Обобщения
- Геометрическая медиана может быть обобщена на римановы многообразия и метрические пространства.
- Взвешенная геометрическая медиана определяется как сумма взвешенных расстояний до точек данных.