Оглавление
Гиперболическая спираль
-
Определение и свойства гиперболической спирали
- Гиперболическая спираль имеет угол наклона, увеличивающийся с удалением от центра.
- Кривая приближается к асимптотической линии по мере расширения.
- Используется в изображении подъема по винтовой лестнице и в архитектуре.
-
История и области применения
- Пьер Вариньон впервые изучил спираль в 1704 году.
- Вариньон и Максвелл использовали спираль для создания рулеток.
- Бернулли и Котс исследовали спираль в связи с законом обратных квадратов.
- Ньютон доказал, что законы обратных квадратов приводят к коническим сечениям.
-
Координатные уравнения и преобразования
- Уравнение гиперболической спирали: r = a/φ.
- Параметрическое уравнение в декартовых координатах: x = a cos φ/φ, y = a sin φ/φ.
- Инверсия окружности через единичную окружность дает гиперболическую спираль.
-
Центральная проекция спирали
- Центральная проекция спирали описывает вид на перилах винтовой лестницы.
- Параметрическое представление: (r cos t, r sin t, ct), c ≠ 0.
- Полярное уравнение: ρ = dr/(d-ct).
-
Свойства и характеристики
- Асимптоты: y = a.
- Угол наклона: α = tan^-1(-1/φ).
- Кривизна: κ = φ^4/a(φ^2 + 1)^3/2.
- Длина дуги: L = a[−1 + φ^2φ + ln(φ + 1 + φ^2)]φ^1φ^2.
-
Формула длины
- Длина L определяется как интеграл от корня из 1 + φ^2 по BOS_φ^2.
- Формула упрощается до L = a[ln(φ + √1 + φ^2)]_{φ1}^{φ2}.
- Обозначение в квадратных скобках означает вычисление формулы для обоих случаев φ1 и φ2.
-
Площадь сектора
- Площадь сектора гиперболической спирали с уравнением r = a/φ равна A = 1/2 ∫φ1φ2r(φ)2dφ.
- Площадь пропорциональна разнице в радиусах с постоянной пропорциональностью a/2.