Гипотеза Хопфа
-
Гипотеза Хопфа в римановой геометрии
- Гипотеза Хопфа утверждает, что положительно или отрицательно искривленные римановы многообразия имеют определенные свойства.
- Для поверхностей гипотеза следует из теоремы Гаусса-Бонне.
- Для четырехмерных многообразий гипотеза следует из конечности фундаментальной группы и формулы Эйлера-Пуанкаре.
- Для многообразий размерности 6 и выше гипотеза остается открытой.
-
Примеры и доказательства
- Пример Роберта Героха показал, что подынтегральное выражение Черна-Гаусса-Бонне может стать отрицательным для d > 2.
- Гипотеза доказана для многообразий размерности 4k+2 или 4k+4, допускающих изометрическое действие k-мерного тора.
- Гипотеза также доказана для многообразий с изометрическим действием компактной группы Ли.
-
Неотрицательные или неположительно искривленные многообразия
- Существуют аналоговые гипотезы для многообразий с нулевой кривизной.
- Пример: продукт двумерных многообразий с различными знаками кривизны.
-
Самокарты степени 1
- Хопф спросил, обязательно ли каждое непрерывное самоизображение ориентированного замкнутого многообразия степени 1 является гомотопической эквивалентностью.
- Гипотеза справедлива для групп Хопфа, но есть несколько групп, не придерживающихся Хопфа.
-
Гипотеза о произведении для произведения двух сфер
- Гипотеза о произведении Хопфа утверждает, что произведение двух сфер не допускает метрики положительной кривизны.
- Теоремы Бургиньона, Хопфа, Вайнштейна и теорема о сфере указывают на отрицательный ответ.
-
Гипотеза Терстона об асферических многообразиях
- Гипотеза Терстона утверждает, что эйлерова характеристика асферических многообразий должна удовлетворять условию, аналогичному для отрицательно искривленных римановых многообразий.
-
Несвязанные гипотезы
- Существует теорема Эберхарда Хопфа, утверждающая, что 2-тор без сопряженных точек должен быть плоским.
- Проблема обобщения этой теоремы на более высокие измерения также была известна как гипотеза Хопфа, но теперь это теорема.