Оглавление
Гири Макенхаупта
-
Определение весов Макенхаупта
- Веса Макенхаупта Ap состоят из весов ω, для которых максимальный оператор Харди–Литтлвуда ограничен на Lp (dw).
- Вес ω ∈ Ap, если существует постоянная C, такая что для всех шаров B в Rn выполняется неравенство |B| ≤ Cω(B).
-
Эквивалентные характеристики
- Веса Ap эквивалентны условиям, что для всех шаров B и подмножеств E ∈ B |E| ≤ γ |B| означает ω(E) ≤ δ ω(B).
- Веса Ap также эквивалентны условиям, что существуют 1 < q и c, такие что для всех шаров B выполняется неравенство |B| ≤ cω(B).
-
Обратные неравенства Гельдера и A∞
- Веса Ap эквивалентны условиям, что существуют 0 < δ, γ < 1, такие что для всех шаров B и подмножеств E ∈ B |E| ≤ γ |B| означает ω(E) ≤ δ ω(B).
- Если выполняется любое из трех эквивалентных условий, то ω принадлежит A∞.
-
Веса и BMO
- Веса Ap не могут вырождаться или расти слишком быстро.
- Это свойство можно сформулировать в терминах того, насколько сильно колеблется логарифм веса.
-
Дополнительные свойства
- Ограниченность сингулярных интегралов: любой сингулярный интегральный оператор Кальдерона-Зигмунда ограничен в пространствах Lp(ω(x)dx).
- Обратный результат: если известно, что для некоторого фиксированного 1 < p < ∞ и некоторого ω, то ω ∈ Ap.
-
Веса и квазиконформные отображения
- Для всех K-квазиконформных функций f: Rn → Rn якобиан J(f, x) ∈ Ap, где p зависит от K.
-
Гармоническая мера
- Для области с дугой K-хорды гармоническая мера w(θ) абсолютно непрерывна относительно одномерной меры Хаусдорфа.