Оглавление
- 1 Эргодичность
- 1.1 Эргодичность в математике
- 1.2 Эргодическая теория
- 1.3 Динамические системы, сохраняющие меру
- 1.4 Эргодические процессы
- 1.5 Аксиомы сигма-аддитивной меры
- 1.6 Оператор временной эволюции T
- 1.7 Определение T-1
- 1.8 Эргодичность и стохастические процессы
- 1.9 Процесс Бернулли и множество Кантора
- 1.10 Декомпозиция Вольда и теорема Орнштейна
- 1.11 Эргодические системы и символическая динамика
- 1.12 История и этимология эргодичности
- 1.13 Эргодичность в физике и геометрии
- 1.14 Эргодичность в бильярде Синая
- 1.15 Простые динамические системы
- 1.16 Эргодичность в классической механике и геометрии
- 1.17 Эргодичность в волновой механике
- 1.18 Эргодичность в квантовой механике
- 1.19 Определение эргодичности для систем с дискретным временем
- 1.20 Определение эргодичности
- 1.21 Примеры эргодических преобразований
- 1.22 Эквивалентные формулировки
- 1.23 Другие примеры эргодических преобразований
- 1.24 Эргодические теоремы
- 1.25 Связанные свойства
- 1.26 Определение для динамических систем с непрерывным временем
- 1.27 Эргодические потоки
- 1.28 Эргодичность в компактных метрических пространствах
- 1.29 Интерпретация функционального анализа
- 1.30 Эргодические меры и их свойства
- 1.31 Примеры эргодических мер
- 1.32 Уникальная эргодичность
- 1.33 Вероятностная интерпретация эргодических процессов
- 1.34 Эргодичность марковских цепей
- 1.35 Критерий эргодичности марковских цепей
- 1.36 Примеры эргодических и неэргодических марковских цепей
- 1.37 Обобщения и примеры
- 1.38 Полный текст статьи:
- 2 Эргодичность
Эргодичность
-
Эргодичность в математике
- Эргодичность означает, что точка системы в конечном итоге посетит все части пространства.
- Среднее поведение системы можно вывести из траектории движения типичной точки.
- Эргодические системы встречаются в физике и геометрии.
-
Эргодическая теория
- Эргодическая теория изучает системы, обладающие эргодичностью.
- Эргодические системы учитывают здравый смысл, например, смешивание дыма и металла.
-
Динамические системы, сохраняющие меру
- Эргодичность основана на формальных определениях теории меры и динамических систем.
- Динамическая система, сохраняющая меру, записывается как (X, A, μ, T).
- Мера μ определяет объем пространства X и его подмножеств.
- Временная эволюция системы описывается картой T.
-
Эргодические процессы
- Эргодические процессы могут быть абстрактными, как в статистических системах.
- Объем может быть абстрактным, например, вероятность выпадения орла или решки.
- Динамические системы, сохраняющие меру, могут быть созданы на основе наборов цилиндров.
-
Аксиомы сигма-аддитивной меры
- Динамические системы, сохраняющие меру, используют сигма-аддитивные меры
- Мера Бернулли используется для подбрасывания монеты
-
Оператор временной эволюции T
- Оператор T меняет первую подброшенную монету на остальные
- Мера не зависит от сдвига, если первый бросок “мне все равно”
-
Определение T-1
- T-1 вставляет значение “мне все равно” в первую позицию
- Мера T-1(A) = μ(A) для любого множества A
-
Эргодичность и стохастические процессы
- Эргодичность означает, что последовательность посещает все состояния
- Статистические свойства могут быть выведены из одной выборки
-
Процесс Бернулли и множество Кантора
- Процесс Бернулли эквивалентен равномерному распределению действительных чисел
- Множество Кантора играет ключевую роль в математике
-
Декомпозиция Вольда и теорема Орнштейна
- Декомпозиция Вольда: любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов
- Теорема Орнштейна: каждый стационарный случайный процесс эквивалентен схеме Бернулли
-
Эргодические системы и символическая динамика
- Эргодические системы посещают каждое состояние равномерно
- Символическая динамика изучает системы, генерирующие бесконечные последовательности из N букв
-
История и этимология эргодичности
- Термин “эргодический” происходит от греческих слов “работа” и “путь”
- Идея эргодичности родилась в термодинамике для описания смешивания газов
-
Эргодичность в физике и геометрии
- Эргодичность в физике: системы с конечным числом частиц описываются в шестимерном пространстве
- Эргодическая гипотеза утверждает, что физические системы эргодичны на коротких временных масштабах
- Формальные доказательства эргодичности в статистической физике редки
-
Эргодичность в бильярде Синая
- Бильярдный шар, сталкиваясь с неподвижным шаром, возвращается к нему.
- Это можно рассматривать как движение атома, что приводит к эргодичности.
-
Простые динамические системы
- Иррациональное вращение окружности и бета-разложения числа являются эргодическими.
- Арифметический бильярд с иррациональными углами и карта пекаря также эргодические.
-
Эргодичность в классической механике и геометрии
- Геодезический поток на римановых многообразиях является эргодическим.
- Бильярд Адамара и поток Аносова также эргодические.
- Эргодичность связана с симплектическими многообразиями и уравнениями Гамильтона–Якоби.
-
Эргодичность в волновой механике
- Резонансное взаимодействие в волновой механике приводит к термализации системы.
- Задача Ферми–Пасты–Улама–Цингу является примером резонансного взаимодействия.
-
Эргодичность в квантовой механике
- В квантовой механике нет универсального определения эргодичности.
- Теорема о квантовой эргодичности утверждает, что математическое ожидание оператора сходится к классическому среднему значению.
-
Определение эргодичности для систем с дискретным временем
- Эргодические показатели используются для обсуждения эргодичности.
- Инвариантная мера и эргодическая мера определяют эргодичность динамической системы.
-
Определение эргодичности
- Эргодичность требует, чтобы преобразование T было неособым относительно меры μ.
- Это означает, что если N является подмножеством с нулевой мерой, то и T(N) также имеет нулевую меру.
-
Примеры эргодических преобразований
- Самостоятельная карта X эргодична тогда и только тогда, когда она биективна и имеет только одну орбиту.
- Цикл (12⋯n) эргодичен, а перестановка (12)(34⋯n) нет.
-
Эквивалентные формулировки
- Для каждого A ∈ B с μ(T−1(A) △ A) = 0, μ(A) = 0 или μ(A) = 1.
- Для каждого A ∈ B при положительной оценке μ(⋃n=1∞ T−n(A)) = 1.
- Для каждых двух подходов A, B ∈ B в позитивном смысле, существует n > 0 такое, что μ((T−n(A)) ∩ B) > 0.
- Каждая измеримая функция f: X → R с f ∘ T = f постоянна для подмножества полной меры.
-
Другие примеры эргодических преобразований
- Сдвиги Бернулли и их подмены эргодичны для меры продукта.
- Иррациональные вращения на единичном круге эргодичны для меры Лебега.
- Карта кота Арнольда эргодична для меры Лебега на торе.
-
Эргодические теоремы
- Поточечная эргодическая теорема утверждает, что среднее время нахождения на орбите сходится к среднему по пространству значению функции.
- Средняя эргодическая теорема аналогична, но для квадратично интегрируемых функций.
-
Связанные свойства
- Плотные орбиты: если T эргодичен, то μ-почти на каждом витке T плотен в поддержании μ.
- Смешивание: T смешивает для μ, если для любых измеримых множеств A, B ⊂ X, μ(T−nA ∩ B) = μ(A)μ(B).
- Правильная эргодичность: T правильно эргодичен, если у него нет полной орбиты.
-
Определение для динамических систем с непрерывным временем
- Определение аналогично дискретному случаю, но для семейств измеримых функций.
- Примеры: переходное действие на окружности, течение вдоль иррационального наклона тора.
-
Эргодические потоки
- Примеры: бильярд в выпуклых евклидовых областях, геодезический поток отрицательно искривленного риманова многообразия, поток гороцикла на гиперболическом многообразии.
-
Эргодичность в компактных метрических пространствах
- Дополнительная структура топологии позволяет создать более подробную теорию эргодических преобразований.
-
Интерпретация функционального анализа
- Альтернативное определение эргодических мер через теорию банаховых пространств.
-
Эргодические меры и их свойства
- Эргодические меры являются крайними точками выпуклого множества инвариантных мер.
- Преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры.
- Эргодическая мера может быть выражена как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер.
-
Примеры эргодических мер
- В случае X = {1, …, n} и T = (1, 2) (3, 4 … n), мера счета не является эргодической.
- Эргодические меры для T являются единообразными мерами μ1, μ2, поддерживаемыми в подмножествах {1, 2} и {3, …, n}.
- Эргодическое разложение счетной меры: 2nμ1 + (n-2)nμ2.
-
Уникальная эргодичность
- Трансформация T называется однозначно эргодичной, если существует уникальная борелевская вероятностная мера μ на X, которая является эргодической для T.
- Иррациональные повороты окружности однозначно эргодичны, карты сдвига таковыми не являются.
-
Вероятностная интерпретация эргодических процессов
- Случайный процесс с дискретным временем считается эргодическим, если совместное распределение переменных на Ω^N инвариантно относительно карты сдвига.
- Простейший случай — независимый и одинаково распределенный процесс, соответствующий карте сдвигов.
-
Эргодичность марковских цепей
- Цепь Маркова на S определяется матрицей P, где P(s1, s2) — вероятность перехода из s1 в s2.
- Стационарная мера для P — вероятностная мера ν на S такая, что νP = ν.
- Мера μν на съемочной площадке X = S^Z инвариантна относительно карты сдвига.
-
Критерий эргодичности марковских цепей
- Мера μν эргодична для отображения сдвига, если связанная с ней цепь Маркова неприводима.
- Достаточное условие для неприводимости: 1 является простым собственным значением матрицы P и все другие собственные значения P имеют модуль упругости <1.
-
Примеры эргодических и неэргодических марковских цепей
- Счетная мера является эргодической, если P(s, s’) = 1/|S| для всех s, s’ ∈ S.
- Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами, которые не являются неприводимыми, не являются эргодическими.
- Периодическая цепочка на S = {1, 2} задается матрицей (0110) и является неприводимой, но не эргодической.
-
Обобщения и примеры
- Определение эргодичности имеет смысл для групповых действий.
- Для неабелевых групп не может быть инвариантных мер, но определение эргодичности остается неизменным с заменой инвариантных мер квазиинвариантными мерами.
- Важные примеры: действие полупростой группы Ли на ее границу Фюрстенберга.