Оглавление
Основное идеальное кольцо
-
Основные понятия
- Кольцо R называется главным правым (левым) идеальным кольцом, если каждый правый (левый) идеал имеет форму xR (Rx) для некоторого элемента x из R.
- Кольцо R называется кольцом главных идеалов, если это условие выполняется как для левого, так и для правого идеалов.
- Кольцо R называется правым кольцом Безу, если только конечно порожденные правые идеалы являются главными.
- Левые кольца Безу определяются аналогично.
-
Свойства главных колец
- Главные правые идеальные кольца замкнуты относительно конечных прямых произведений.
- Главные правые идеальные кольца и правые кольца Безу замкнуты относительно частных.
- Главные кольца, построенные в примере 5, всегда являются артиновыми кольцами.
-
Коммутативные примеры
- Кольцо целых чисел и целые числа по модулю n являются главными кольцами.
- Локализация главного кольца в любом мультипликативном подмножестве снова является главным кольцом.
- Частное главного кольца снова является главным кольцом.
- Кольца Галуа являются коммутативными локальными пирамидами.
-
Структурная теория
- Главные кольца можно записать как прямое произведение главных идеальных областей или специальных главных колец.
- Специальные главные кольца имеют конечное число идеалов, каждый из которых является степенью максимального идеала.
- Теорема Хангерфорда утверждает, что любое специальное главное кольцо является частным от дискретного оценочного кольца.
-
Некоммутативные примеры
- Каждое полупростое кольцо является некоммутативным правым и левым главным идеальным кольцом.
- Регулярные кольца фон Неймана рассматриваются как правые и левые кольца Безу.
- Кольцо косых многочленов D[x,σ] является главной левой идеальной областью, но не правой нетеровой.