Оглавление
- 1 Гомология (математика)
- 1.1 Гомология цепных комплексов
- 1.2 Теории гомологии
- 1.3 Гомологии топологического пространства
- 1.4 Вдохновение для гомологии
- 1.5 Циклы и границы
- 1.6 Понятие отсутствия границ
- 1.7 Гомология топологических пространств
- 1.8 Примеры групп гомологий
- 1.9 Построение групп гомологий
- 1.10 Определение циклов и гомологий
- 1.11 Редуцированные и приведенные группы гомологий
- 1.12 Симплициальные и сингулярные группы гомологий
- 1.13 Группы когомологий
- 1.14 Гомология и гомотопия
- 1.15 Типы гомологии
- 1.16 Другие теории гомологии
- 1.17 Различие между гомологиями и когомологиями
- 1.18 Свойства цепных комплексов
- 1.19 Приложения в чистой математике
- 1.20 Применение в науке и технике
- 1.21 Программное обеспечение
- 1.22 Происхождение и поверхности
- 1.23 История гомологии
- 1.24 Классификация многообразий
- 1.25 Симплициальные гомологии
- 1.26 Алгебраические группы гомологий
- 1.27 Алгебраическая топология
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Гомологии (математика) – Arc.Ask3.Ru
Гомология (математика)
-
Гомология цепных комплексов
- Цепной комплекс состоит из абелевых групп и граничных гомоморфизмов.
- Группы гомологий Hn получаются как фактор-группы циклов по модулю границ.
- Цепные комплексы могут быть связаны с различными математическими объектами.
-
Теории гомологии
- Теории гомологии связывают цепные комплексы с математическими объектами.
- Примеры теорий: сингулярные гомологии, гомологии Морса, гомологии Хованова и гомологии Хохшильда.
- Теории гомологии помогают различать и изучать структуру объектов.
-
Гомологии топологического пространства
- Гомологии топологического пространства часто используются для одномерных пространств.
- Графовая гомология и симплициальная гомология являются простыми теориями гомологии.
- Клеточная гомология обобщает симплициальную гомологию.
-
Вдохновение для гомологии
- Гомология возникла из наблюдения за различиями в топологических особенностях фигур.
- Циклы представляют классы гомологий, а формальное сложение циклов образует группу.
-
Циклы и границы
- Циклы определяются как элементы ядра граничных гомоморфизмов.
- Границы определяются как элементы изображения граничных гомоморфизмов.
- Топологические границы аналогичны границам в цепных комплексах.
-
Понятие отсутствия границ
- Циклы можно рассматривать как обнаружение дыр в топологических пространствах.
- Безграничные формы, такие как S1, S2 и T2, могут быть заполнены формами большего размера.
- Например, S1 можно заполнить диском D2, а S2 — шариком B3.
-
Гомология топологических пространств
- Гомология описывает количество отверстий в пространстве с определенной размерностью границы.
- Группы гомологий Hk(X) представляют собой классы эквивалентности, где k-циклы считаются равными, если они отличаются добавлением границы.
- Нулевой элемент Hk(X) задается группой из k-мерных границ.
-
Примеры групп гомологий
- H0(X) описывает связанные компоненты X.
- H1(S1) = Z, H1(S2) = Z, H1(B2) = Z.
- H0(T2) = Z, H1(T2) = Z × Z, H1(T3) = Z × Z × Z.
- H0(P) = Z, H1(P) = Z2.
-
Построение групп гомологий
- Группы гомологий строятся на основе цепных комплексов.
- Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп с граничными операторами.
- Граничные операторы должны удовлетворять условию тривиальности.
- Элементы Bn(X) = im(∂n+1) называются границами, а элементы Zn(X) — циклами.
-
Определение циклов и гомологий
- Циклы определяются как ядра граничных отображений цепного комплекса.
- Гомологические группы Hn(X) являются частными группами, где Hn(X) = ker(∂n) / im(∂n+1).
- Гомологии измеряют точность цепного комплекса.
-
Редуцированные и приведенные группы гомологий
- Редуцированные группы гомологий определяются как гомологии расширенного цепного комплекса.
- Приведенные группы гомологий совпадают с Hn(X) для n ≠ 0.
-
Симплициальные и сингулярные группы гомологий
- Симплициальные группы гомологий определяются для симплициальных комплексов.
- Сингулярные группы гомологий определяются для топологических пространств.
-
Группы когомологий
- Группы когомологий формально аналогичны группам гомологий.
- Группы когомологий начинаются с коцепного комплекса и определяются аналогично цепным комплексам.
-
Гомология и гомотопия
- Гомотопические группы πn(X) описывают гомотопические классы отображений из n-сферы в X.
- Гомоморфизм Гуревича h∗: πn(X) → Hn(X) связывает гомотопические и гомологические группы.
-
Типы гомологии
- Симплициальная гомология определяется для симплициальных комплексов.
- Сингулярная гомология определяется для топологических пространств.
- Групповая гомология используется для определения производных функторов.
-
Другие теории гомологии
- Гомология Бореля–Мура, клеточная гомология, циклическая гомология и другие теории гомологии.
- Функторы гомологии определяют гомологии как ковариантные функторы от цепных комплексов до абелевых групп.
-
Различие между гомологиями и когомологиями
- В когомологиях цепные комплексы зависят от X, образуя контравариантные функторы.
- Группы гомологий (H) образуют контравариантные функторы из категории X в категорию абелевых групп или модулей.
-
Свойства цепных комплексов
- Эйлерова характеристика может быть вычислена на уровне гомологии.
- Каждая короткая точная последовательность цепных комплексов приводит к длинной точной последовательности гомологических групп.
-
Приложения в чистой математике
- Теорема Брауэра о неподвижной точке.
- Инвариантность предметной области.
- Теорема о волосатом шаре.
- Теорема Борсука–Улама.
- Инвариантность размерности.
-
Применение в науке и технике
- Топологический анализ данных.
- Сенсорные сети.
- Теория динамических систем.
- Методы конечных элементов.
-
Программное обеспечение
- Linbox, Chomp, CAPD::Redhom, Perseus.
- Kenzo, Gmsh.
-
Происхождение и поверхности
- Теория гомологии начинается с формулы Эйлера.
- Поверхности: сфера, тор, бутылка Кляйна, проективная плоскость.
- Кручение и коэффициент кручения.
-
История гомологии
- Анри Пуанкаре опубликовал первую теорию гомологии в 1895 году.
- В статье были представлены классы гомологии и соотношения.
- Классификация ориентируемых циклов основана на числах Бетти.
- Классификация неориентируемых циклов требует дополнительной информации о коэффициентах кручения.
-
Классификация многообразий
- Полная классификация 1-го и 2-го коллекторов приведена в таблице.
- Для неориентируемой поверхности отверстие эквивалентно двум поперечным крышкам.
- Замкнутое 2-многообразие может быть реализовано как связная сумма g торов и c проективных плоскостей.
-
Симплициальные гомологии
- Пуанкаре продолжил разработку симплициальных гомологий.
- Создал симплициальный цепной комплекс, который стал основой современных методов рассмотрения гомологий.
-
Алгебраические группы гомологий
- Эмми Нетер, Леопольд Виеторис и Вальтер Майер развивали теорию алгебраических групп гомологий в 1925-28 годах.
- Группы гомологий – это конечно порожденные абелевы группы.
- Числа Бетти многообразия являются рангом свободной части гомологической группы.
-
Алгебраическая топология
- Распространение гомологических групп привело к изменению терминологии с “комбинаторной топологии” на “алгебраическую топологию”.
- Алгебраическая гомология остается основным методом классификации многообразий.