Оглавление
- 1 Гомотопическая группа
- 1.1 Определение гомотопических групп
- 1.2 Определение n-й гомотопической группы
- 1.3 Групповые операции
- 1.4 Абелева природа и изоморфизмы
- 1.5 Дыры и гомотопические группы
- 1.6 Длинная точная последовательность расслоения
- 1.7 Однородные пространства и сферы
- 1.8 Гомотопические группы SO(3) и SO(4)
- 1.9 Применение к сферическим пучкам
- 1.10 Сложное проективное пространство
- 1.11 Методы расчета гомотопических групп
- 1.12 Относительные гомотопические группы
- 1.13 Связанные понятия
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Гомотопическая группа
Гомотопическая группа
-
Определение гомотопических групп
- Гомотопические группы используются для классификации топологических пространств.
- Первая гомотопическая группа, π1(X), записывает информацию о циклах в пространстве.
- Гомотопические группы записывают информацию об основной форме пространства.
-
Определение n-й гомотопической группы
- n-я гомотопическая группа πn(X) определяется как множество гомотопических классов отображений из n-мерной сферы в пространство X.
- Гомотопические классы задаются гомотопиями, которые постоянны в базовой точке сферы.
-
Групповые операции
- Групповая операция в πn(X) аналогична операции в фундаментальной группе, но с использованием n-мерных кубов вместо одномерных.
- Сумма отображений определяется как композиция отображений, склеивающих кубы вдоль грани.
-
Абелева природа и изоморфизмы
- Для n ≥ 2, πn является абелевой группой.
- Любые два варианта базовой точки приводят к изоморфному πn.
-
Дыры и гомотопические группы
- Топологическое пространство имеет дыру с d-мерной границей, если его d-я гомотопическая группа не тривиальна.
-
Длинная точная последовательность расслоения
- Существует длинная точная последовательность гомотопических групп для расслоений.
- Пример: расслоение Хопфа показывает, что πn(S3) = πn(S2) для n ≥ 3.
-
Однородные пространства и сферы
- Существуют реализации сфер как однородных пространств для вычисления гомотопических групп.
- Специальная ортогональная группа предоставляет расслоение для вычисления гомотопических групп низкого порядка.
-
Гомотопические группы SO(3) и SO(4)
- SO(3) изоморфно RP3, SO(4) изоморфно S3.
- πi(SO(3)) ≅ πi(S3) для i > 1.
- π4(S3) = Z/2, π3(SO(4)) ≅ Z ⊕ Z.
-
Применение к сферическим пучкам
- Милнор использовал π3(SO(4)) для классификации 3-сферных расслоений по S4.
- Сферы Милнора гомеоморфны S7, но не диффеоморфны.
-
Сложное проективное пространство
- Существует расслоение S1 → S2n+1 → CPn, где S2n+1 — единичная сфера в Cn+1.
- Эта последовательность используется для демонстрации простой связности CPn для всех n.
-
Методы расчета гомотопических групп
- Вычисление гомотопических групп сложнее, чем других гомотопических инвариантов.
- Методы, разработанные в 1980-х годах, позволили выполнить новые вычисления.
- Для некоторых пространств, таких как торы, все высшие гомотопические группы тривиальны.
-
Относительные гомотопические группы
- Существуют относительные гомотопические группы πn(X, A) для пары (X, A), где A — подпространство X.
- Элементы группы — гомотопические классы отображений Dn → X с границей Sn-1 в A.
- Существует длинная точная последовательность относительных гомотопических групп.
-
Связанные понятия
- Гомотопические группы важны для теории гомотопий и модельных категорий.
- Гомологические группы похожи на гомотопические, но коммутативны.
- Гомотопические группы часто сложны и трудновычислимы, в отличие от гомологических.