Оглавление
- 1 Гомотопическая связность
- 1.1 Определение гомотопической связности
- 1.2 Определение с использованием отверстий
- 1.3 Примеры
- 1.4 Гомотопическая связность сфер
- 1.5 Определение с использованием групп
- 1.6 Примеры
- 1.7 n-подключенная карта
- 1.8 Малоразмерные примеры
- 1.9 Определение n-связности
- 1.10 Толкование n-связности
- 1.11 Нижние границы гомотопической связности
- 1.12 Симплициальные комплексы и соединения
- 1.13 Нервный комплекс
- 1.14 Принцип гомотопии
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Гомотопическая связность
Гомотопическая связность
-
Определение гомотопической связности
- Гомотопическая связность описывает топологическое пространство на основе размерности его отверстий.
- Низкая гомотопическая связность указывает на наличие низкоразмерных дыр.
- Концепция n-связности обобщает путевую связность и простую связность.
-
Определение с использованием отверстий
- Дыра в пространстве X – это объект, который не позволяет сфере непрерывно сжиматься в точку.
- Формально, d-мерное отверстие с границей – это d-мерная сфера, которая не может непрерывно расширяться до (d+1)-мерного шара.
- X называется n-связным, если не содержит отверстий граничной размерности d ≤ n.
-
Примеры
- 2-мерное отверстие – это окружность, которая не может непрерывно сжиматься до точки.
- 3-мерное отверстие – это куб с удаленным шаром, где двумерная сфера не может непрерывно сжиматься до одной точки.
- Одномерное отверстие – это сфера нулевого измерения, которая не может непрерывно сжиматься до одной точки.
-
Гомотопическая связность сфер
- Для каждого целого числа d, коннπ(Sd) = d-1 и ηπ(Sd) = d+1.
- Доказательство требует двух направлений: доказательство, что коннπ(Sd) < d, и доказательство, что коннπ(Sd) ≥ d-1.
-
Определение с использованием групп
- Пространство X называется n-связным при n ≥ 0, если его гомотопические группы порядка d ≤ n тривиальны.
- Требование к n-связному пространству: непустота, связность по пути, отсутствие отверстий граничного размера d.
-
Примеры
- Пространство X является (-1)-связным, если оно непустое.
- Пространство X является 0-связным, если оно непустое и связано по пути.
- Пространство является односвязным, если оно просто соединено.
- n-сфера является (n-1)-связанной.
-
n-подключенная карта
- n-связное отображение – это отображение, гомотопический слой которого является (n-1)-связным пространством.
- В терминах гомотопических групп, отображение является n-связным, если πi(f) изоморфизм для i < n и πn(f) сюръекция.
-
Малоразмерные примеры
- Связная карта (0-связная карта) – это карта, которая находится на компонентах пути.
- Односвязное отображение (1-связное отображение) – это отображение, которое является изоморфизмом компонентов пути и фундаментальной группы.
-
Определение n-связности
- n-связность пространства X определяется через включение базовой точки x0.
- Множество одиночных точек является сжимаемым, что означает обращение в нуль первых n гомотопических групп.
-
Толкование n-связности
- n-связное включение A ↪ X означает, что гомотопии в X могут быть преобразованы в гомотопии в A до размерности n − 1.
- Изоморфизм на πn−1(A) → πn−1(X) означает, что гомотопии в A абстрактно гомотопичны в X.
-
Нижние границы гомотопической связности
- Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность с гомологической связностью.
- Если X односвязен, то коннH(X) = коннπ(X).
- Если X не односвязен, то коннH(X) ≥ коннπ(X).
-
Симплициальные комплексы и соединения
- Симплициальный комплекс K является k-связным тогда и только тогда, когда его (k + 1)-мерный каркас k-связен.
- Соединение K ∗ L имеет коннπ(K ∗ L) ≥ коннπ(K) + коннπ(L) + 2.
-
Нервный комплекс
- Нервный комплекс N из K1,…,Kn изоморфен K, если для каждого J ⊂ I пересечение ⋂Uя либо пусто, либо (k−|J|+1)-связно.
-
Принцип гомотопии
- Включение геометрически определенного пространства в более общее топологическое пространство удовлетворяет гомотопическому принципу.
- Существуют методы доказательства h-принципов.