Гомотопическая связность

Оглавление1 Гомотопическая связность1.1 Определение гомотопической связности1.2 Определение с использованием отверстий1.3 Примеры1.4 Гомотопическая связность сфер1.5 Определение с использованием групп1.6 Примеры1.7 n-подключенная […]

Гомотопическая связность

  • Определение гомотопической связности

    • Гомотопическая связность описывает топологическое пространство на основе размерности его отверстий.  
    • Низкая гомотопическая связность указывает на наличие низкоразмерных дыр.  
    • Концепция n-связности обобщает путевую связность и простую связность.  
  • Определение с использованием отверстий

    • Дыра в пространстве X – это объект, который не позволяет сфере непрерывно сжиматься в точку.  
    • Формально, d-мерное отверстие с границей – это d-мерная сфера, которая не может непрерывно расширяться до (d+1)-мерного шара.  
    • X называется n-связным, если не содержит отверстий граничной размерности d ≤ n.  
  • Примеры

    • 2-мерное отверстие – это окружность, которая не может непрерывно сжиматься до точки.  
    • 3-мерное отверстие – это куб с удаленным шаром, где двумерная сфера не может непрерывно сжиматься до одной точки.  
    • Одномерное отверстие – это сфера нулевого измерения, которая не может непрерывно сжиматься до одной точки.  
  • Гомотопическая связность сфер

    • Для каждого целого числа d, коннπ(Sd) = d-1 и ηπ(Sd) = d+1.  
    • Доказательство требует двух направлений: доказательство, что коннπ(Sd) < d, и доказательство, что коннπ(Sd) ≥ d-1.  
  • Определение с использованием групп

    • Пространство X называется n-связным при n ≥ 0, если его гомотопические группы порядка d ≤ n тривиальны.  
    • Требование к n-связному пространству: непустота, связность по пути, отсутствие отверстий граничного размера d.  
  • Примеры

    • Пространство X является (-1)-связным, если оно непустое.  
    • Пространство X является 0-связным, если оно непустое и связано по пути.  
    • Пространство является односвязным, если оно просто соединено.  
    • n-сфера является (n-1)-связанной.  
  • n-подключенная карта

    • n-связное отображение – это отображение, гомотопический слой которого является (n-1)-связным пространством.  
    • В терминах гомотопических групп, отображение является n-связным, если πi(f) изоморфизм для i < n и πn(f) сюръекция.  
  • Малоразмерные примеры

    • Связная карта (0-связная карта) – это карта, которая находится на компонентах пути.  
    • Односвязное отображение (1-связное отображение) – это отображение, которое является изоморфизмом компонентов пути и фундаментальной группы.  
  • Определение n-связности

    • n-связность пространства X определяется через включение базовой точки x0.  
    • Множество одиночных точек является сжимаемым, что означает обращение в нуль первых n гомотопических групп.  
  • Толкование n-связности

    • n-связное включение A ↪ X означает, что гомотопии в X могут быть преобразованы в гомотопии в A до размерности n − 1.  
    • Изоморфизм на πn−1(A) → πn−1(X) означает, что гомотопии в A абстрактно гомотопичны в X.  
  • Нижние границы гомотопической связности

    • Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность с гомологической связностью.  
    • Если X односвязен, то коннH(X) = коннπ(X).  
    • Если X не односвязен, то коннH(X) ≥ коннπ(X).  
  • Симплициальные комплексы и соединения

    • Симплициальный комплекс K является k-связным тогда и только тогда, когда его (k + 1)-мерный каркас k-связен.  
    • Соединение K ∗ L имеет коннπ(K ∗ L) ≥ коннπ(K) + коннπ(L) + 2.  
  • Нервный комплекс

    • Нервный комплекс N из K1,…,Kn изоморфен K, если для каждого J ⊂ I пересечение ⋂Uя либо пусто, либо (k−|J|+1)-связно.  
  • Принцип гомотопии

    • Включение геометрически определенного пространства в более общее топологическое пространство удовлетворяет гомотопическому принципу.  
    • Существуют методы доказательства h-принципов.  

Полный текст статьи:

Гомотопическая связность

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх