Грассманианский

• Определение и свойства грассманианов

  • Грассманиан — это множество всех k-мерных подпространств векторного пространства V. 
  • Грассманиан является аффинным алгебраическим многообразием и имеет размерность (n-k)k. 
  • Грассманиан обладает структурой дифференцируемого многообразия и является компактным хаусдорфовым пространством. 

• Примеры и приложения

  • Грассманиан может быть представлен как набор ортогональных проекционных операторов. 
  • Грассманиан используется в теории представлений и квантовой механике для описания состояний квантовых систем. 
  • В геометрии грассманиан играет ключевую роль в теории поверхностей и теории кривых. 

• Алгебраические свойства

  • Грассманиан является однородным пространством группы GL(n,k) и имеет структуру однородного пространства. 
  • Грассманиан имеет структуру расслоения с базой V и слоем, являющимся грассманианом. 
  • Грассманиан обладает структурой векторного расслоения с базой V и слоем, являющимся k-мерным векторным пространством. 

• Координатные представления

  • Грассманиан можно представить как набор координат, определенных на базе V. 
  • Аффинные координаты на грассманиане определяются как линейные комбинации базисных векторов. 
  • Переход между координатами на разных грассманианах определяется матрицами перехода. 

• Метрика и ортогональность

  • Грассманиан может быть представлен как метрическое пространство с метрикой, определенной через норму оператора. 
  • Ортогональность между подпространствами на грассманиане определяется через их ранги. 

• Алгебраические многообразия

  • Грассманиан может быть представлен как аффинное алгебраическое многообразие в пространстве матриц. 
  • Грассманиан как алгебраическое многообразие имеет структуру однородного пространства и является расслоением. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.