Оглавление
- 1 Группа типа “Ложь”
- 1.1 Группы типа Ли
- 1.2 Классические группы
- 1.3 Группы Шевалле
- 1.4 Группы Штейнберга
- 1.5 Группы Suzuki–Ree
- 1.6 Отношения с конечными простыми группами
- 1.7 Небольшие группы типа Lie
- 1.8 Группы типа G2
- 1.9 Примеры групп с необычными коэффициентами Шура
- 1.10 Изоморфизмы между малыми группами типа Ли
- 1.11 Проблемы с обозначениями
- 1.12 Теория Делиня–Люстига и модульная алгебра Ли
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Группа типа «Ложь»
Группа типа “Ложь”
-
Группы типа Ли
- Конечные группы, связанные с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы.
- Не имеют точного определения, но важны для классификации конечных простых групп.
- Связаны с (бесконечными) группами Ли.
-
Классические группы
- Определены Джорданом (1870), изучены Диксоном и Дьедонне.
- Включают линейные, ортогональные, симплектические и унитарные группы.
- Соответствуют рядам An, Bn, Cn, Dn, 2An, 2Dn.
-
Группы Шевалле
- Группы Ли над конечными полями.
- Построены Шевалле (1955) на основе алгебр Ли.
- Включают группы типа G2 и E6.
-
Группы Штейнберга
- Модификация конструкции Шевалле.
- Включают унитарные группы 2An и ортогональные группы 2Dn.
- Построены Штейнбергом (1959).
-
Группы Suzuki–Ree
- Обнаружены Сузуки (1960) и Ри (1960, 1961).
- Включают группы с автоморфизмами, квадратами которых являются автоморфизмы Фробениуса.
- Включают группы 2F4 и 2G2.
-
Отношения с конечными простыми группами
- Начались с теоремы Джордан о PSL(2, q).
- Шевалле построил группы Шевалле в 1950-х годах.
- Почти все конечные простые группы объясняются расширениями конструкции Шевалле.
-
Небольшие группы типа Lie
- Некоторые группы не идеальны или имеют множитель Шура больше ожидаемого.
- Примеры: A1(2), A1(3), 2A2(4), B2(2), 2B2(2), 2F4(2), G2(2).
-
Группы типа G2
- 2G2(3) не идеален, но производная группа имеет индекс 3 и порядок 504
- В некоторых случаях коэффициент Шура больше ожидаемого
-
Примеры групп с необычными коэффициентами Шура
- A1(4) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- A1(9) имеет множитель Шура Z / 3Z, порядок 6 вместо 2
- A2(2) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- A2(4) имеет множитель Шура Z / 4Z × Z / 4Z, порядок 48 вместо 3
- A3(2) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- B3(2) и C3(2) имеют множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- B3(3) имеет множитель Шура Z / 3Z, порядок 6 вместо 2
- D4(2) имеет множитель Шура Z / 2Z × Z / 2Z, порядок 4 вместо 1
- F4(2) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- G2(3) имеет множитель Шура Z / 3Z, порядок 3 вместо 1
- G2(4) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- 2A3(4) имеет множитель Шура Z / 2Z, порядок 2 вместо 1
- 2A3(9) имеет множитель Шура Z / 3Z × Z / 3Z, порядок 36 вместо 4
- 2A5(4) имеет множитель Шура Z / 2Z × Z / 2Z, порядок 12 вместо 3
- 2E6(4) имеет множитель Шура Z / 2Z × Z / 2Z, порядок 12 вместо 3
- 2B2(8) имеет множитель Шура Z / 2Z × Z / 2Z, порядок 4 вместо 1
-
Изоморфизмы между малыми группами типа Ли
- Группы SL (2, 4), PSL (2, 5) и чередующаяся группа по 5 точкам изоморфны
- Полный список исключений приведен в списке конечных простых групп
-
Проблемы с обозначениями
- Для конечных групп типа Ли нет стандартных обозначений
- Группы типа An−1 иногда обозначаются PSL(n, q) или L (n, q)
- Группы типа Cn иногда обозначаются как Sp(2n, q) или Sp (n, q)
- Обозначения для групп типа Dn особенно запутанны
- Некоторые авторы используют O (n, q) для простой группы, а не ортогональной
- Обозначения Ω, PΩ введены Жаном Дьедонне, но могут использоваться для разных групп
- Для групп Стейнберга некоторые авторы пишут 2An(q2), другие 2An(q)
- Авторы расходятся во мнениях о том, являются ли группы An (q) группами точек или односвязными алгебраическими группами
-
Теория Делиня–Люстига и модульная алгебра Ли
- Теория Делиня–Люстига изучает представления конечных групп типа Ли
- Модульная алгебра Ли изучает алгебраические группы и их представления