Оглавление [Скрыть]
Идеальный оператор
-
Определение операторного идеала
- Операторный идеал — это класс непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами.
- Если оператор T принадлежит идеалу J, то для любых операторов A и B, составленных с T, BTA также принадлежит J.
- Для идеального оператора J, он должен содержать класс всех операторов конечного ранга.
-
Формальное определение
- L обозначает класс непрерывных линейных операторов между произвольными банаховыми пространствами.
- Для подкласса J от L и банаховых пространств X и Y, J(X,Y) — множество операторов T: X → Y таких, что T ∈ J.
- Идеальный оператор — это подкласс J от L, содержащий каждый тождественный оператор на одномерном банаховом пространстве, такой, что для любых X и Y, J(X,Y) удовлетворяет двум условиям.
-
Свойства и примеры
- Каждый компонент J(X,Y) операторного идеала образует линейное подпространство L(X,Y).
- Каждый идеальный оператор содержит все операторы конечного ранга.
- Операторы конечного ранга образуют наименьший идеал оператора.
- Для каждого оператора J, каждый компонент J(X) образует идеал в алгебраическом смысле.
- Некоторые известные классы операторов являются нормальными операторными идеалами.
- Примеры нормальных операторных идеалов: компактные операторы, слабо компактные операторы, конечно строго сингулярные операторы, строго сингулярные операторы, полностью непрерывные операторы.