Идеал (теория колец)

• Определение и свойства идеалов

  • Идеал — это подмножество элементов кольца, удовлетворяющее определенным условиям. 
  • Идеал является подкольцом, если он содержит единицу и является подмодулем, если он содержит нулевой элемент. 
  • Идеал является двусторонним, если он содержит как левые, так и правые идеалы. 

• Примеры идеалов

  • Множество всех целых чисел является идеалом в кольце целых чисел. 
  • Идеал, порожденный наименьшим положительным элементом в кольце целых чисел, является основным. 
  • Множество многочленов, делящихся на многочлен, является идеалом в кольце многочленов. 
  • Матрица с нулевыми строками или столбцами является правильным идеалом в матричном кольце. 

• Идеальные соответствия и гомоморфизмы

  • Сюръективный гомоморфизм колец порождает идеальное соответствие между левыми идеалами колец. 
  • Идеальное соответствие сохраняет порядок и биективно для простых идеалов. 
  • Идеальное частное от двух идеалов является идеалом. 

• Расширение и сжатие идеалов

  • Предварительное изображение идеала является идеалом. 
  • Идеал может быть расширен или сжат при изменении кольца. 

• Идеалы в модулях

  • Аннигилятор подмножества модуля является левым идеалом. 
  • Идеальное частное от идеалов является примером идеализатора в коммутативной алгебре. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.