Оглавление
Инфраструктура (теория чисел)
-
Историческое развитие
- В 1972 году Д. Шенкс обнаружил инфраструктуру поля вещественных квадратичных чисел.
- В 1982 году Х. Ленстра опубликовал математическую структуру, описывающую инфраструктуру поля вещественных квадратичных чисел.
- В 2008 году Р. Шуф использовал делители Аракелова для описания инфраструктур в числовых полях произвольного единичного ранга.
-
Одномерный случай
- Одномерная инфраструктура состоит из действительного числа R, конечного множества X и инъективного отображения d: X → R/RZ.
- Карта d часто называется картой расстояний.
- Маленький шаг — это операция bs: X → X, присваивающая каждой точке d(X) следующий элемент.
- Гигантский шаг — это операция gs: X × X → X, определяемая как red(d(x) + d(y)).
-
Отношение к вещественным квадратичным полям
- Шенкс наблюдал за инфраструктурой в полях вещественных квадратичных чисел при изучении циклов приведенных бинарных квадратичных форм.
- Гигантские шаги и маленькие шаги позволяют быстро переходить к уменьшенным формам, расположенным дальше от начала круга.
-
Отношение к R/RZ
- Набор R/RZ имеет естественную групповую операцию, и операция гигантского шага определяется в её терминах.
- Групповая операция из R/RZ может быть описана с помощью гигантских шагов и маленьких шагов.
-
f-представления
- Набор f-представлений — это подмножество fRep от X × R/RZ, такое что карта ΨfRep: fRep → R/RZ является биекцией.
- Карты сокращения и f-представления находятся во взаимно однозначном соответствии.
- Групповую операцию на R/RZ можно приостановить к fRep, превращая fRep в абелеву группу.
-
Рекомендации
- Рекомендуется ознакомиться с работами Д. Шенкса, Х. Ленстры, Р. Шуфа, Дж. Бухманна, Х. C. Уильямса и других.
-
Уменьшение значения
- Вычисление bs−1(x″) и f″−(d(x″)−d(bs−1(x″)))
- Замена (x″, f″) на (bs−1(x″), f″−(d(x″)−d(bs−1(x″)))
-
Отрицательное значение
- Если значение было отрицательным, (x″, f″) ∈ fRepred
- ΨfRepred(x, f) + ΨfRepred(x′, f′) = ΨfRepred(x″, f″)
- (x, f) + (x′, f′) = (x″, f″)