Оглавление
- 1 Пространство интерполяции
- 1.1 Интерполяционные пространства
- 1.2 История интерполяции
- 1.3 Настройка интерполяции
- 1.4 Сложная интерполяция
- 1.5 Реальная интерполяция
- 1.6 Взаимосвязи между методами
- 1.7 Примеры
- 1.8 Теорема о повторении
- 1.9 Двойственность
- 1.10 Определение kθ,q-нормы
- 1.11 Эквивалентность норм
- 1.12 Интерполяционное пространство
- 1.13 Дискретное определение
- 1.14 Общий метод интерполяции
- 1.15 Интерполяция пространств Соболева и Бесова
- 1.16 Полный текст статьи:
- 2 Интерполяционное пространство
Пространство интерполяции
-
Интерполяционные пространства
- Пространства, лежащие между двумя банаховыми пространствами
- Основные приложения в пространствах Соболева
-
История интерполяции
- Теория началась с теоремы Рисса-Торина
- Жак-Луи Лионс обнаружил, что пространства следов состоят из функций с нецелым числом производных
-
Настройка интерполяции
- Банахово пространство X непрерывно вложено в Z, если X является линейным подпространством Z
- Совместимая пара (X0, X1) состоит из двух банаховых пространств, непрерывно вложенных в Z
- Интерполяция зависит от относительного положения X0 и X1 в Z
-
Сложная интерполяция
- Комплексные числа используются для определения интерполяционных пространств
- Комплексное интерполяционное пространство (X0, X1)θ состоит из значений функций на S
- Семейство Lp-пространств хорошо работает при комплексной интерполяции
-
Реальная интерполяция
- K-метод и J-метод используются для реальной интерполяции
- K-метод: kθ,q(X0, X1) состоит из всех x с ||x||θ,q;K < ∞
- J-метод: jθ,q(X0, X1) состоит из x, которые могут быть записаны в виде суммы функций из X0 и X1
-
Взаимосвязи между методами
- K- и J-методы эквивалентны при 0 < θ < 1
- Реальные интервалы интерполяции увеличиваются с увеличением q
- Сложное интерполяционное пространство обычно не изоморфно ни одному из методов реальной интерполяции
-
Примеры
- Метод интерполяции (θ, ∞) дает пространство Гельдера C0,θ
- Реальная интерполяция между Lp дает семейство пространств Лоренца
-
Теорема о повторении
- Промежуточное пространство X относится к классу θ, если X0 и X1 непрерывно вложены в Z
- Комплексное интерполяционное пространство (X0, X1)θ является промежуточным пространством класса θ
-
Двойственность
- Двойственность сохраняется при условии плотности X0 и X1
- Для комплексной интерполяции дуальность (X0, X1)θ равна (X’0, X’1)θ
- Для реальной интерполяции двойственность сохраняется при конечном параметре q
-
Определение kθ,q-нормы
- Функция t → K(x, t) изменяется регулярно, что позволяет определить kθ,q-норму как интеграл или ряд.
- Ряд получается путем разбиения (0, θ) на части (2n, 2n+1) одинаковой массы.
-
Эквивалентность норм
- В случае, когда X0 непрерывно вложено в X1, можно опустить часть ряда с отрицательными индексами n.
- Каждая из функций x → K(x, 2n; X0, X1) определяет эквивалентную норму на X1.
-
Интерполяционное пространство
- Интерполяционное пространство (X0, X1)θ,q является “диагональным подпространством” ℓ q-суммы последовательности банаховых пространств.
- Двойственное из (X0, X1)θ, q является частным от ℓ p-суммы двойственных значений.
-
Дискретное определение
- Дискретное определение облегчает изучение вопросов, таких как идентификация дуала и компактность линейных операторов.
- Львы и Питер доказали это.
-
Общий метод интерполяции
- Пространство ℓ q может быть заменено произвольным пространством последовательности Y с безусловным базисом.
- Веса an = 2−θn, bn = 2(1−θ)n могут быть заменены общими весами.
-
Интерполяция пространств Соболева и Бесова
- Доступно несколько результатов интерполяции для пространств Соболева и Бесова на Rn.
- Сложная интерполяция хорошо работает в классе пространств Соболева Hp^s и пространствах Бесова.
- Реальная интерполяция между пространствами Соболева может давать пространства Бесова, за исключением случаев, когда s0 = s1.