Оглавление
- 1 Измерение
- 1.1 Определение размерности
- 1.2 Многомерные пространства
- 1.3 История и развитие
- 1.4 Векторные пространства
- 1.5 Коллекторы
- 1.6 Сложный размер
- 1.7 Разновидности
- 1.8 Измерение Крулла
- 1.9 Размерность Крулля
- 1.10 Топологические пространства
- 1.11 Измерение Хаусдорфа
- 1.12 Гильбертовы пространства
- 1.13 Пространственные измерения в физике
- 1.14 Дополнительные размеры в физике
- 1.15 Дополнительные измерения в компьютерной графике и пространственных данных
- 1.16 Векторные системы и геометрические примитивы
- 1.17 Точка (0-мерная)
- 1.18 Линия или ломаная (одномерная)
- 1.19 Многоугольник (2-мерный)
- 1.20 Поверхность (трехмерная)
- 1.21 Пространственное обобщение
- 1.22 Цели пространственного обобщения
- 1.23 Риски пространственного обобщения
- 1.24 Дополнительные измерения
- 1.25 Список тем по измерениям
- 1.26 Связанные темы
- 1.27 Рекомендации
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Измерение – Arc.Ask3.Ru
Измерение
-
Определение размерности
- Размерность объекта определяется как минимальное количество координат, необходимых для указания любой точки внутри него.
- Размерность прямой равна единице, поверхности — двум, внутренней части куба, цилиндра или сферы — трем.
- В классической механике пространство и время считаются разными категориями, что приводит к четырехмерному пространству.
-
Многомерные пространства
- Многомерные пространства часто встречаются в математике и других науках.
- Размерность объекта — это количество степеней свободы точки, которая движется по этому объекту.
- Размерность не зависит от размера пространства, в которое объект помещен.
-
История и развитие
- Понятие высших измерений восходит к Рене Декарту.
- Существенное развитие многомерной геометрии началось в 19 веке благодаря работам Артура Кейли, Уильяма Роуэна Гамильтона, Людвига Шлефли и Бернхарда Римана.
-
Векторные пространства
- Размерность векторного пространства — это количество векторов в любом базисе пространства.
- Для несвободного случая это обобщается на понятие длины модуля.
-
Коллекторы
- Можно вычислить однозначно определенный размер каждого связанного топологического многообразия.
- Связное топологическое многообразие локально гомеоморфно евклидову n-пространству, где n — размерность многообразия.
-
Сложный размер
- Размерность многообразия зависит от базового поля, относительно которого определено евклидово пространство.
- Комплексная размерность равна половине действительной размерности.
-
Разновидности
- Размерность алгебраического многообразия может быть определена различными способами.
- Наиболее интуитивный способ — измерение касательного пространства в любой правильной точке.
- Алгебраическое множество имеет размерность, равную максимальной из размерностей его компонентов.
-
Измерение Крулла
- Измерение Крулла — это способ определения размерности алгебраического многообразия через его связность.
-
Размерность Крулля
- Максимальная длина цепочек простых идеалов в коммутативном кольце
- Связана с размерностью алгебраического многообразия
- Для алгебры над полем размерность векторного пространства конечна тогда и только тогда, когда размерность по Круллю равна 0
-
Топологические пространства
- Размерность покрытия Лебега определяется как наименьшее целое число n, для которого любое открытое покрытие имеет открытое уточнение
- Для многообразия X это совпадает с размерностью, упомянутой выше
- Если такого целого числа n не существует, размерность X бесконечна
- Размерность -1 означает, что X пуст
- Индуктивная размерность основана на аналогии с метрическими пространствами
-
Измерение Хаусдорфа
- Полезно для изучения структурно сложных множеств, особенно фракталов
- Размерность Хаусдорфа может иметь нецелочисленные вещественные значения
- Размерность бокса или размерность Минковского – варианты той же идеи
-
Гильбертовы пространства
- Каждое Гильбертово пространство допускает ортонормированный базис
- Размерность Гильбертова пространства конечна тогда и только тогда, когда размерность Гамеля пространства конечна
-
Пространственные измерения в физике
- Классические теории описывают три физических измерения: вверх/вниз, влево/вправо и вперед/назад
- Время – это измерение, которое воспринимается иначе, чем три пространственных измерения
- Уравнения классической механики симметричны по отношению ко времени
- Специальная теория относительности рассматривает пространство и время как компоненты четырехмерного многообразия
-
Дополнительные размеры в физике
- Теории суперструн и супергравитации требуют дополнительных измерений
- Теория Калуцы-Клейна включает дополнительное измерение пространства
- Теория суперструн требует шести компактных измерений
- D-браны могут играть роль дополнительных измерений
-
Дополнительные измерения в компьютерной графике и пространственных данных
- Несколько типов цифровых систем основаны на хранении, анализе и визуализации геометрических фигур
-
Векторные системы и геометрические примитивы
- Векторные системы используют различные структуры данных для представления фигур.
- Почти все системы основаны на наборе геометрических примитивов, соответствующих пространственным измерениям.
-
Точка (0-мерная)
- Единственная координата в декартовой системе координат.
-
Линия или ломаная (одномерная)
- Представлена в виде упорядоченного списка точек.
- Программное обеспечение интерполирует промежуточную форму линии.
-
Многоугольник (2-мерный)
- Представлен в виде линии, замкнутой в конечных точках.
- Используется для разделения двумерного пространства на внутреннее и внешнее.
-
Поверхность (трехмерная)
- Представлена многогранником, состоящим из соединенных граней многоугольника.
- Используется для разделения трехмерного пространства на внутреннее и внешнее.
-
Пространственное обобщение
- Представление явлений реального мира может иметь меньшее измерение, чем представляемое явление.
- Это коррелирует с тенденциями в пространственном познании.
- Примеры: город как точка, дорога как линия.
-
Цели пространственного обобщения
- Повышение эффективности обработки данных.
- Визуальная простота.
- Когнитивная эффективность.
-
Риски пространственного обобщения
- Путаница, если пользователи предполагают, что цифровая форма является идеальным отображением реальности.
-
Дополнительные измерения
- В механике, физике, химии, статистике.
- Примеры: внешний размер, показатель Херста, изопериметрический размер, метрический размер, размер заказа, фрактал, корреляция.
-
Список тем по измерениям
- Точка, нулевое пространство, целое число, линия, кривая, граф, действительное число, длина, самолет, поверхность, полигон, сеть, комплексное число, декартова система координат, область, платоническое твердое тело, многогранник, стереоскопия, 3-коллектор, ось вращения, узлы, косые линии, косой многоугольник, объем, пространство-время, четвертое пространственное измерение, выпуклый правильный 4-многогранник, кватернион, 4-коллектор, полихорон, вращения в 4-мерном евклидовом пространстве, четвертое измерение в искусстве, четвертое измерение в литературе, теория Калуцы–Клейна, октонион, теория суперструн, М-теория, F-теория, седенион, теория бозонных струн, тригинтадуонион, векторное пространство, плоскость вращения, проклятие размерности, теория струн, гильбертово пространство, функциональное пространство.
-
Связанные темы
- Таблицы измерений.
- Пространственный анализ.
- Гиперпространство.
- Внутреннее измерение.
- Многомерный анализ.
- Кривая заполнения пробела.
- Средний размер.
- Равнинная местность.
-
Рекомендации
- Дальнейшее чтение.
- Предварительный просмотр в Google.
- Внешние ссылки.