Изображение (теория категорий)

• Определение и свойства изображения

  • Изображение морфизма — это морфизм, обратный к исходному. 
  • В категории с конечными пределами и коллимациями, изображение — это эквалайзер пары коядер. 
  • В абелевой категории, изображение мономорфизма совпадает с его ядром и коядром. 

• Факторизация морфизма

  • Факторизация морфизма — это его разложение на мономорфизмы. 
  • Если категория имеет все эквалайзеры, то факторизация является эпиморфизмом. 

• Второе определение изображения

  • Изображение определяется как эквалайзер пары коядер, что является кокартовым для морфизма с самим собой. 
  • В абелевой категории, все мономорфизмы являются регулярными, что позволяет использовать второе определение. 

• Теорема о совпадении определений

  • Если морфизм всегда факторизуется регулярными мономорфизмами, то два определения изображения совпадают. 

• Примеры изображений

  • В категории множеств, изображение морфизма — это включение образа в область морфизма. 
  • В конкретных категориях, таких как группы и модули, образ морфизма совпадает с образом в категории множеств. 

• Нормальные категории и мономорфизмы

  • В нормальной категории с нулевым объектом и ядрами, изображение морфизма может быть выражено через эти структуры. 
  • В абелевой категории, если морфизм является мономорфизмом, то он равен своему ядру и коядру.