Оглавление
- 1 Gauge theory
- 1.1 История и развитие
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 Примеры и приложения
- 1.4 Современные исследования
- 1.5 Значение и применение
- 1.6 Математическое описание физических ситуаций
- 1.7 Локальные и глобальные симметрии
- 1.8 Гауссовы теории
- 1.9 Калибровочные поля
- 1.10 Физические эксперименты
- 1.11 Континуумные теории
- 1.12 Квантовые полевые теории
- 1.13 Калибровочные теории и их применение
- 1.14 Классическая калибровочная теория
- 1.15 Пример: скалярная O(n) калибровочная теория
- 1.16 Лагранжиан Янга–Миллса
- 1.17 Пример: электродинамика
- 1.18 Математический формализм
- 1.19 Нелинейные сигма-модели и калибровочные преобразования
- 1.20 Форма кривизны и бесконечно малые калибровочные преобразования
- 1.21 Действие Янга–Миллса и калибровочно-инвариантные величины
- 1.22 Квантование калибровочных теорий
- 1.23 Аномалии и чистый калибр
- 1.24 Полный текст статьи:
- 2 Калибровочная теория
Gauge theory
-
История и развитие
- Концепция калибровочной теории возникла в 1918 году благодаря работам Германа Вейля.
- Вейль и его коллеги предложили калибровочную теорию для объяснения электромагнитных эффектов в квантовой механике.
- В 1954 году Ян и Миллс обобщили калибровочную теорию на неабелеву калибровочную теорию, известную как теория Янга-Миллса.
-
Основные понятия
- Калибровочная теория описывает системы, инвариантные под локальными преобразованиями.
- Калибровочные поля включаются в лагранжиан для обеспечения инвариантности.
- Калибровочные бозоны возникают при квантизации калибровочных полей.
-
Примеры и приложения
- Квантовая электродинамика является абелевой калибровочной теорией с группой U(1).
- Стандартная модель является неабелевой калибровочной теорией с группой SU(3) × SU(2) × U(1).
- Калибровочные теории важны для объяснения гравитации в общей теории относительности.
-
Современные исследования
- В 1970-х годах Майкл Атья начал изучать математику решений уравнений Янга-Миллса.
- В 1983 году Саймон Дональдсон показал, что классификация гладких 4-мерных многообразий отличается от классификации до гомеоморфизма.
- В 1994 году Эдвард Виттен и Натан Сиберг разработали методы на основе суперсимметрии для вычисления топологических инвариантов.
-
Значение и применение
- Калибровочные теории успешно описывают динамику элементарных частиц.
- Современные теории, такие как струнная теория и общая теория относительности, также являются калибровочными теориями.
-
Математическое описание физических ситуаций
- Физические ситуации описываются множеством эквивалентных математических конфигураций.
- В Ньютоновской динамике конфигурации, связанные Галилеевым преобразованием, описывают одну и ту же физическую ситуацию.
- Эти преобразования образуют группу симметрий теории.
-
Локальные и глобальные симметрии
- Локальные симметрии аналогичны изменениям координат в отсутствие предпочтительной инерциальной системы отсчета.
- Глобальные симметрии аналогичны жестким вращениям координатной системы.
-
Гауссовы теории
- Гауссовы теории имеют симметрии, связанные с изменением координатного базиса.
- В квантовой электродинамике используется группа U(1).
- Гауссовы теории учитывают локальные симметрии, вводя калибровочные поля.
-
Калибровочные поля
- Калибровочные поля описывают локальные симметрии.
- Калибровочные поля не исчезают при калибровочных преобразованиях.
- Калибровочные поля взаимодействуют с другими объектами и имеют самоэнергию.
-
Физические эксперименты
- Гауссовы теории ограничивают возможные конфигурации и вычисляют вероятности результатов экспериментов.
- Эксперименты зависят от выбора координатной системы и калибровочного поля.
- Аномалии возникают из-за неправильного учета калибровочной зависимости.
-
Континуумные теории
- Континуумные теории, такие как электродинамика и общая теория относительности, используют фиксированный калибровочный базис.
- Эти теории делают точные предсказания для широкого диапазона энергий и условий.
- Они не работают на самых малых и больших масштабах из-за ограничений теорий и математических методов.
-
Квантовые полевые теории
- Квантовые полевые теории, такие как квантовая электродинамика и Стандартная модель, используют интеграл действия для описания физических ситуаций.
- Они отличаются от континуумных теорий тем, как обрабатывают избыточные степени свободы.
-
Калибровочные теории и их применение
- Калибровочные теории уменьшают орбиту математических конфигураций, представляющих физическую ситуацию.
- Более сложные квантовые теории поля нарушают калибровочную симметрию, вводя дополнительные поля и контрчлены.
- Математические методы калибровочных теорий нашли применение в различных областях, включая физику твердого тела и кристаллографию.
-
Классическая калибровочная теория
- В электростатике электрическое поле и потенциал связаны через градиент.
- В электромагнетизме добавляется векторный потенциал A.
- Калибровочные преобразования сохраняют электромагнитные поля.
-
Пример: скалярная O(n) калибровочная теория
- Лагранжиан инвариантен относительно преобразований O(n).
- Локальная калибровочная инвариантность требует введения калибровочного поля A(x).
- Калибровочное поле преобразуется как элемент алгебры Ли.
-
Лагранжиан Янга–Миллса
- Лагранжиан Янга–Миллса описывает калибровочное поле как решение уравнения поля.
- Лагранжиан включает структурные константы алгебры Ли.
- Калибровочная симметрия должна быть ограничена для квантования.
-
Пример: электродинамика
- В электродинамике используется электронное поле и калибровочная группа U(1).
- Калибровочное поле A(x) отождествляется с четырехвекторным потенциалом электромагнитного поля.
- Калибровочный принцип приводит к минимальной связи электромагнитного поля с электронным полем.
-
Математический формализм
- Калибровочные теории обсуждаются на языке дифференциальной геометрии.
- Калибровочное преобразование — это преобразование между участками основного пучка.
- Существуют различные представления калибровочных преобразований, включая ковариантные и аффинные.
-
Нелинейные сигма-модели и калибровочные преобразования
- Нелинейные сигма-модели преобразуются нелинейно, что находит применение в физике.
- Калибровочные преобразования определяются главным расслоением P и структурной группой Ли.
- Связи определяют основное расслоение и ковариантную производную θ.
-
Форма кривизны и бесконечно малые калибровочные преобразования
- Форма кривизны F строится из формы связи A.
- Бесконечно малые калибровочные преобразования образуют алгебру Ли с гладким скаляром ε.
- δεX = εX, δεDX = εDX, δεF = [ε, F].
-
Действие Янга–Миллса и калибровочно-инвариантные величины
- Действие Янга–Миллса задается с помощью оператора звезды Ходжа и интеграла.
- Калибровочно-инвариантной величиной является цикл Вильсона.
-
Квантование калибровочных теорий
- Калибровочные теории могут быть квантованы методами, применимыми к квантовой теории поля.
- Методы квантования включают фиксацию калибровки и каноническое квантование.
- Неабелевы калибровочные теории обрабатываются различными способами.
-
Аномалии и чистый калибр
- Аномалии возникают из-за нарушения симметрии в квантовой теории.
- Чистый калибр — это набор конфигураций полей, полученных калибровочным преобразованием нулевого поля.