Оглавление
- 1 Канонический пакет
- 1.1 Каноническое расслоение
- 1.2 Антиканоническое расслоение
- 1.3 Формула присоединения
- 1.4 Каноническая формула расслоения
- 1.5 Исключительный случай
- 1.6 Канонические кривые
- 1.7 Теорема Нетера и Петри
- 1.8 Исторический контекст
- 1.9 Каноническое расслоение
- 1.10 Работа Петри
- 1.11 Современные методы
- 1.12 Канонические кольца
- 1.13 Программа минимальной модели
- 1.14 Фундаментальная теорема Биркара–Кашини–Хакона–Маккернана
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Канонический комплект
Канонический пакет
-
Каноническое расслоение
- Каноническое расслоение неособого алгебраического многообразия V — это линейный пучок Ωn, внешняя мощность кокасательного пучка на V.
- Над комплексными числами это определяющее расслоение голоморфного кокасательного расслоения T∗V.
- Канонический класс — это класс делителей делителя Картье K на V, порождающий каноническое расслоение.
-
Антиканоническое расслоение
- Антиканоническое расслоение — это обратное расслоение ω−1.
- Когда антиканонический пучок V достаточно, V называется разновидностью Фано.
-
Формула присоединения
- Формула присоединения связывает канонические пучки из X и D.
- Это естественный изоморфизм с точки зрения канонических классов.
-
Каноническая формула расслоения
- Род g расслоение f: X → B от X — это правильный плоский морфизм f к плавной кривой, такой, что f∗OX ≅ OB и все волокна имеют арифметический род g.
- Минимальное расслоение рода 0 — это бирациональное расслоение.
- Минимальное расслоение рода 1 (эллиптическое расслоение) имеет геометрически целые волокна и геометрически связанные волокна.
-
Исключительный случай
- Канонический делитель можно определить на гладком локусе или в когомологиях нормализованного дуализирующего комплекса.
- Канонические карты определяют рациональные отображения из V в проективное пространство.
-
Канонические кривые
- Каноническое расслоение на кривых совпадает с кокасательным расслоением.
- Степень канонического класса равна 2g − 2 для кривой рода g.
- Для кривых рода 0 и 1 канонические классы неэффективны.
- Для кривых рода 2 и выше канонические кривые являются рациональными нормальными кривыми.
- Для негиперэллиптических кривых канонические кривые являются плоскими кривыми в квадратичной форме.
-
Теорема Нетера и Петри
- Теорема Нетера: размерность пространства квадрик через каноническую кривую равна (g − 2) (g − 3) / 2.
- Теорема Петри: для g по меньшей мере 4 однородный идеал генерируется элементами степени 2, за исключением тригональных кривых и неособых плоских квинтик при g = 6.
-
Исторический контекст
- Результат был известен до Петри и назывался теоремой Бэббиджа-Чисини-Энрикеса.
- Терминология запутана, так как результат также называется теоремой Нетер–Энрикеса.
-
Каноническое расслоение
- Нетер доказала, что каноническое расслоение обычно генерируется симметричными степенями пространства сечений.
- Это подразумевает получение квадратичных дифференциалов и имеет последствия для локальной теоремы Торелли.
-
Работа Петри
- Петри предоставила явные квадратичные и кубические генераторы идеала.
- В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую является линейчатой поверхностью или поверхностью Веронезе.
-
Современные методы
- Классические результаты доказаны на комплексных числах, но методы работают над полями с любой характеристикой.
-
Канонические кольца
- Каноническое кольцо V – это градуированное кольцо.
- Если канонический класс V является обширным линейным расслоением, каноническое кольцо является однородным координатным кольцом изображения канонического отображения.
- В общем случае, если кольцо конечно порождено, оно является однородным координатным кольцом изображения k-канонического отображения.
-
Программа минимальной модели
- Предполагалось, что каноническое кольцо каждого гладкого или слабо сингулярного проективного многообразия конечно порождено.
- Это подразумевает существование канонической модели, особой бирациональной модели V с умеренными особенностями.
-
Фундаментальная теорема Биркара–Кашини–Хакона–Маккернана
- Каноническое кольцо гладкого или слабо сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.
- Размерность V по Кодайре – это размерность канонического кольца минус единица.