Оглавление
- 1 Карта импульса
- 1.1 Определение карты импульсов
- 1.2 Формальное определение
- 1.3 Карта динамики
- 1.4 Примеры динамических карт
- 1.5 Некоторые факты о импульсных картах
- 1.6 Симплектические коэффициенты
- 1.7 Стратифицированное симплектическое пространство
- 1.8 Измерительная группа и её действие
- 1.9 Карта моментов и симплектическая редукция
- 1.10 Дополнительные ссылки и рекомендации
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Карта импульса – Arc.Ask3.Ru
Карта импульса
-
Определение карты импульсов
- Карта импульсов связана с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическое многообразие.
- Используется для построения сохраняющихся величин для действия.
- Обобщает классические понятия линейного и углового моментов.
-
Формальное определение
- Группа Ли G действует на симплектическое многообразие M посредством симплектоморфизмов.
- Векторное поле ρ(ξ) описывает бесконечно малое действие ξ.
- Сжатие векторного поля с помощью ω называется ιρ(ξ)ω.
- Если ιρ(ξ)ω точно, то можно выбрать функцию Hξ для составления карты ξ ↦ Hξ.
-
Карта динамики
- Карта динамики μ: M → g∗ такая, что ⟨μ, ξ⟩ = ⟨μ(x), ξ⟩ для всех ξ в g.
- Карта импульса определяется однозначно с точностью до аддитивной постоянной интегрирования.
- Гамильтониан — это действие, для которого существует отображение импульса.
-
Примеры динамических карт
- В случае гамильтонова действия окружности, карта импульса — это гамильтонова функция.
- В случае евклидовой группы, карта импульса состоит из трех угловых моментов и трех линейных импульсов.
- В случае действия G на кокасательном пучке T∗N, карта импульса задается как −ιρ(ξ)τ.
-
Некоторые факты о импульсных картах
- Существует уникальная симплектическая структура на совместной орбите O(F), такая что карта включения O(F) ↪ g∗ является картой импульса.
- Действие H на M также является гамильтоновым, если H является подгруппой Ли из G и ψ — карта включения.
- Естественное действие G × H на (M1 × M2, ω1 × ω2) является гамильтоновым с отображением импульса, представляющим собой прямую сумму двух отображений импульса.
- Действие G на подмногообразии N из M также является гамильтоновым, если ограничение симплектической формы на N является невырожденным.
-
Симплектические коэффициенты
- Если действие G на M является гамильтоновым, то μ−1(0) является инвариантным относительно G.
- Частное μ−1(0)/G является симплектическим многообразием, называемым частным Марсдена–Вайнштейна.
- Размерность частного равна размерности M минус удвоенный размер G.
-
Стратифицированное симплектическое пространство
- Пространство с совместимыми симплектическими структурами на слоях
- Пример: пространство Ω1(Σ, g) связей на тривиальном расслоении Σ × G
-
Измерительная группа и её действие
- Группа G = Карта(Σ, G) воздействует на соединения через сопряжение g ⋅ A
- Ложь(G) = Ω0(Σ, g) = Ω2(Σ, g)∗ через интеграционное сопряжение
-
Карта моментов и симплектическая редукция
- Карта моментов отсылает соединение к его кривизне
- Пространство модулей плоских связей эквивалентно модулю калибровки μ−1(0)/G
- Симплектическая редукция задает это пространство
-
Дополнительные ссылки и рекомендации
- Джей-М. Сурьо, “Структура динамических систем”
- S. K. Дональдсон и П. B. Кронхеймер, “Геометрия четырех многообразий”
- Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, “Введение в симплектическую топологию”