Оглавление
- 1 Подалгебра Картана
- 1.1 Подалгебра Картана
- 1.2 Определение и свойства
- 1.3 Существование и уникальность
- 1.4 Примеры
- 1.5 Подалгебры Картана полупростых алгебр Ли
- 1.6 Декомпозиция представлений
- 1.7 Веса и неприводимые представления
- 1.8 Расщепляющие подалгебры Картана
- 1.9 Подгруппа Картана
- 1.10 Примеры подгрупп Картана
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Картановская подалгебра
Подалгебра Картана
-
Подалгебра Картана
- Нильпотентная подалгебра в алгебре Ли
- Саморегулирующийся процесс
- Представлена Эли Картаном
-
Определение и свойства
- Максимальная абелева подалгебра
- Состоит из полупростых элементов
- Изоморфна максимальной торальной подалгебре
-
Существование и уникальность
- Существует для конечномерных алгебр Ли
- Для конечного поля вопрос открыт
- В конечномерной полупростой алгебре Ли все подалгебры Картана сопряжены
-
Примеры
- Нильпотентные алгебры Ли имеют собственные подалгебры Картана
- В gln подалгебра Картана состоит из диагональных матриц
- В sln подалгебра Картана состоит из матриц с нулевым следом
-
Подалгебры Картана полупростых алгебр Ли
- Абелева и состоит из полупростых операторов
- Существует прямое суммарное разложение алгебры Ли
- Корневая система состоит из весов
-
Декомпозиция представлений
- Представление алгебры Ли можно разложить по весовым пространствам
- Веса могут быть использованы для классификации неприводимых представлений
-
Веса и неприводимые представления
- Существует уникальный вес λ ∈ Φ в отношении частичного упорядочения на h∗.
- Для каждого положительного корня α ∈ Φ+ существует единственное неприводимое представление L+(λ).
- Корневая система Φ содержит всю информацию о теории представлений g.
-
Расщепляющие подалгебры Картана
- Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана сопряжены.
- Важный класс — расщепляющиеся подалгебры Картана.
- Если алгебра Ли допускает расщепляющуюся подалгебру Картана h, она называется расщепляемой.
- Любые две расщепляющиеся алгебры Картана сопряжены и выполняют ту же функцию, что и алгебры Картана в полупростых алгебрах Ли над алгебраически замкнутыми полями.
-
Подгруппа Картана
- Подгруппа Картана группы Ли — это особый тип подгруппы.
- Его алгебра Ли сама по себе является подалгеброй Картана.
- Для компактных связных групп Ли подгруппа Картана — это максимальная связная абелева подгруппа, называемая максимальным тором.
- Для несвязанных компактных групп Ли существует несколько определений подгруппы Картана.
- Один из подходов, предложенный Дэвидом Воганом, определяет его как группу элементов, нормализующих фиксированный максимальный тор и сохраняющих фундаментальную камеру Вейля.
- Существует также “малая подгруппа Картана”, определяемая как централизатор максимального тора.
- Эти подгруппы Картана не всегда могут быть абелевыми в целом.
-
Примеры подгрупп Картана
- Подгруппа в GL2(R), состоящая из диагональных матриц.