Оглавление
Категория Вальдхаузена
-
Категория Вальдхаузена
- Категория C с дополнительными данными для построения спектра C по K-теории
- Введена Фридхельмом Вальдхаузеном для распространения методов алгебраической K-теории на топологические пространства
-
Определение категории Вальдхаузена
- C имеет нулевой объект 0
- Изоморфизмы включены в co(C) и we(C)
- co(C) и we(C) закрыты по составу
- Для каждого объекта A ∈ C, отображение 0 → A является кофибрацией
- co(C) и we(C) совместимы с pushouts
-
Связи с другими понятиями
- В алгебраической K-теории и гомотопической теории существуют категории с заданными классами морфизмов
- Если C имеет структуру точной категории, то we(C) — изоморфизмы, co(C) — допустимые мономорфизмы
- Оба типа структур могут быть использованы для определения K-теории C
-
S-конструкция
- Конструкция Waldhausen S создает последовательность комплексов Kan Sn(C), образующих спектр
- Группа |Sn(C)| является n-й K-группой C
- Это дает возможность определить более высокие K-группы
-
Категории в Бивальдхаузене
- Модель категории C оснащена бифибрацией, если у нее есть кофибрация и противоположная категория COP также имеет ее
- C является категорией Вальдхаузена, если C имеет бифибрации и слабые эквивалентности
- Категории Вальдхаузена и Бивальдхаузена связаны с алгебраической K-теорией
-
Примеры категорий Бивальдхаузена
- Категория Cb(A) о комплексах с ограниченной цепью в точной категории A
- Категория SnC из функторов Ar(Δn) → C, когда C — точная категория
- Категория C^I, когда C — категория моделей с нулевым объектом
-
Рекомендации
- Вейбель, “К-книга”, введение в алгебраическую К-теорию
- Гаркуша, Системы диаграммных категорий и K-теория