Оглавление
- 1 Категория волокнистых материалов
- 1.1 Определение расслоенных категорий
- 1.2 Примеры и мотивы
- 1.3 Формальные определения
- 1.4 Волокнистые категории и раздвоенные категории
- 1.5 Применение и примеры
- 1.6 Расщепления и категории расщепленных волокон
- 1.7 Ко-декартовы морфизмы и ко-расслоенные категории
- 1.8 2-категории волокнистых и разделенных категорий
- 1.9 Существование эквивалентных разделенных категорий
- 1.10 Категории, расслоенные в группоиды
- 1.11 Категории и волокна
- 1.12 Волокнистые жгуты
- 1.13 Связки векторов
- 1.14 Пучки на топологических пространствах
- 1.15 Пучки на вершине
- 1.16 Квазикогерентные пучки на схемах
- 1.17 Волокнистая категория, не допускающая расщепления
- 1.18 Ко-расслоенная категория пучков
- 1.19 Категория, разделенная на группы
- 1.20 Групповой коэффициент
- 1.21 Сложный двухчленный цепной комплекс
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Категория волокна
Категория волокнистых материалов
-
Определение расслоенных категорий
- Расслоенные категории формализуют системы обратных изображений объектов.
- Они используются в теории происхождения и алгебраической геометрии.
- Введены Александром Гротендиком и разработаны Жаном Жиро.
-
Примеры и мотивы
- Векторные расслоения и пучки над топологическими пространствами.
- Семейства алгебраических многообразий.
- Обратные изображения объектов на одном пространстве через отображение на другое.
-
Формальные определения
- Декартовы морфизмы и функторы.
- Категория волокон по отношению к объекту.
- Декартовы морфизмы и их свойства.
- Декартовы функторы и их категории.
-
Волокнистые категории и раздвоенные категории
- Волокнистые категории основаны на декартовых морфизмах.
- Волокнистые категории эквивалентны раздвоенным категориям.
- Волокнистые категории имеют транзитивные обратные изображения.
-
Применение и примеры
- Волокнистые категории используются в теории происхождения.
- Примеры включают векторные расслоения и пучки.
- Волокнистые категории важны в категориальной семантике теории типов.
-
Расщепления и категории расщепленных волокон
- Расщепление — это класс морфизмов, выбранных для определения спайности.
- Нормализованное расщепление включает все тождества.
- Функторы обратного изображения определяют спайность.
- Изоморфизмы совместимости удовлетворяют определенным условиям.
-
Ко-декартовы морфизмы и ко-расслоенные категории
- Ко-декартовы морфизмы — это морфизмы, декартовы для противоположного функтора.
- Ко-волокнистые категории — это категории, где прямое изображение существует для каждого морфизма.
- Совместное расщепление и co-splitting определяются аналогично.
-
2-категории волокнистых и разделенных категорий
- Категории волокнистых и разделенных категорий образуют 2-категории.
- Морфизмы между категориями определяются как декартовы функторы.
- Существует забывчивый 2-функтор, забывающий о расщеплении.
-
Существование эквивалентных разделенных категорий
- Каждая волокнистая категория эквивалентна разделенной категории.
- Существуют две канонические конструкции эквивалентных разделенных категорий.
- Эти конструкции используются для построения стеков.
-
Категории, расслоенные в группоиды
- Категории, расслоенные в группоидах, — это многослойные категории.
- Функтор отправляет объект в категорию, а морфизм — в функтор.
- Примеры включают категории с волокнами и категории стрелок.
-
Категории и волокна
- Категория E-объектов S является категорией E/S-объектов.
- Декартовы морфизмы в A(E) являются декартовыми квадратами в E.
- A(E) перевит волокнами E, если в E существуют волокнистые продукты.
-
Волокнистые жгуты
- Волокнистые изделия представлены в категории топологических пространств.
- A(Top) перевит волокнами Top.
- Если Fib является полной подкатегорией A(Top), то Fib/S является категорией пучков волокон на S.
-
Связки векторов
- Проекции векторных расслоений на их базовые пространства образуют категорию Vect/R (Vect/C).
- Эти категории также расслоены, и функторы обратного изображения являются обычными откатными функторами.
-
Пучки на топологических пространствах
- Функторы обратного изображения пучков образуют категории Sh(S) пучков на S.
- Эти категории являются подкатегориями A(Top).
-
Пучки на вершине
- Если E является топосом, категория E/S-объектов также является топосом.
- Функторы обратного изображения образуют категории E/S в категорию разделенных волокон на E.
-
Квазикогерентные пучки на схемах
- Квазикогерентные пучки образуют расслоенную категорию над категорией схем.
-
Волокнистая категория, не допускающая расщепления
- Группа G может рассматриваться как категория с одним объектом и элементами G как морфизмы.
- Групповой гомоморфизм f: G → H может рассматриваться как функтор, делающий G в H-категорию.
- G перевит волокнами H, если f является сюръективным.
-
Ко-расслоенная категория пучков
- Функтор прямого изображения пучков превращает категории пучков в ко-расслоенную категорию.
-
Категория, разделенная на группы
- Объекты groupoid в категории C задают группоид, внутренний для множеств.
- Существует связанный с ним небольшой группоид, дающий контравариантный 2-функтор F: Cop → Groupoids.
-
Групповой коэффициент
- Задан групповой объект G, воздействие на объект X от a: G → Aut(X).
- Существует связанный объект groupoid, дающий индуцированную категорию, разделенную на группоиды.
-
Сложный двухчленный цепной комплекс
- Для абелевой категории A любой двусоставный комплекс имеет связанный с ним группоид.
- Этот группоид можно использовать для построения категории, разделенной на группоиды.