Оглавление
Кольцо Горенштейна
-
Определение колец Горенштейна
- Кольцо Горенштейна — это коммутативное нетерово локальное кольцо с конечной инъективной размерностью.
- Кольцо Горенштейна самодвойственно в некотором смысле.
-
История и эквивалентные условия
- Кольца Горенштейна были представлены Гротендиком в 1961 году.
- Название происходит от свойства двойственности сингулярных плоских кривых.
- Случай нулевой размерности был изучен Маколеем в 1934 году.
- Серр и Басс обнародовали концепцию колец Горенштейна в 1961 и 1963 годах соответственно.
-
Свойства и примеры
- Кольцо Горенштейна имеет простой цоколь как R-модуль.
- Кольцо Горенштейна удовлетворяет двойственности Пуанкаре.
- Кольцо Горенштейна имеет конечную инъективную размерность как левый и правый R-модуль.
- Каждое локальное полное кольцо пересечений является кольцом Горенштейна.
- Кольцо R = k[x, y, z]/(x2, y2, xz, yz, z2−xy) — 0-мерное кольцо Горенштейна, не являющееся полным кольцом пересечений.
- Кольцо R = k[x,y]/(x2, y2, xy) — 0-мерное кольцо Коэна-Маколея, не являющееся кольцом Горенштейна.
-
Двойственность и геометрическая интерпретация
- Нетерово локальное кольцо является горенштейновым тогда и только тогда, когда его завершение является горенштейновым.
- Канонический модуль горенштейновского локального кольца изоморфен R.
- Стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна является линейным расслоением.
- Локальная двойственность Гротендика для колец Горенштейна принимает вид, аналогичный гладкому случаю.
-
Структурные теоремы
- Для нетеровых локальных колец коразмерности c не более 2, кольцо Горенштейна является полным пересечением.
- Для коразмерности 3 существует структурная теорема в терминах пфаффианов кососимметрической матрицы.
- В 2011 году Майлз Рид расширил структурную теорему на случай коразмерности 4.