Оглавление
Кольцо модульных форм
-
Определение кольца модулярных форм
- Кольцо модулярных форм Γ является градуированным кольцом, порожденным модулярными формами Γ.
- Кольцо модулярных форм полной модульной группы SL(2, Z) свободно генерируется сериями E4 и E6 Эйзенштейна.
-
Свойства кольца модулярных форм
- Кольцо модулярных форм является градуированной алгеброй Ли.
- Скобка Ли для модулярных форм веса k и θ является модулярной формой веса k + θ + 2.
- Скобка может быть определена для n-й производной модулярных форм.
-
Подгруппы конгруэнтности SL(2, Z)
- Кольцо модулярных форм конечно порождено для подгрупп конгруэнтности SL(2, Z).
- Кольцо модулярных форм для подгруппы конгруэнтности Γ1(N) генерируется весом не более 3.
- Кольцо модулярных форм для подгруппы конгруэнтности Γ0(N) генерируется с весом не более 6 для некоторых уровней N.
- Кольцо модулярных форм четного веса для любой подгруппы конгруэнтности Γ генерируется с весом не более 6, а соотношения генерируются с весом не более 12.
- Кольцо модулярных форм полного веса генерируется с весом не более 5 и 10 для Γ с модулярной формой с ненулевым нечетным весом.
-
Общие фуксовы группы
- Фуксова группа Γ соответствует орбифолду, полученному из частного Γ ∖ H из верхней полуплоскости H.
- Существует соответствие между кольцом модулярных форм Γ и кольцом сечений, связанным с каноническим кольцом кривой Стеки.
- Если Γ не имеет модульных форм с ненулевым нечетным весом, генерируется кольцо модулярных форм с весом 6 максимум (1, e1, e2, …, er).
- Если Γ имеет модульную форму с ненулевым нечетным весом, генерируется кольцо модулярных форм с весом не более max(5, e1, e2, …, er).
-
Приложения
- В теории струн и суперсимметричной калибровочной теории алгебраическая структура кольца модулярных форм используется для изучения структуры вакуума Хиггса.
- Стабилизаторами суперпотенциалов в N = 4 суперсимметричной теории Янга–Миллса являются кольца модулярных форм подгруппы конгруэнтности Γ(2) из SL(2, Z).