Оглавление
- 1 Квантовые когомологии
- 1.1 Кольцо квантовых когомологий
- 1.2 Чашечное произведение квантовых когомологий
- 1.3 Кольцо Новикова
- 1.4 Малые квантовые когомологии
- 1.5 Геометрическая интерпретация
- 1.6 Пример
- 1.7 Свойства продукта small quantum cup
- 1.8 Связь с Дубровиным
- 1.9 Большие квантовые когомологии
- 1.10 Рекомендации
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Квантовые когомологии
Квантовые когомологии
-
Кольцо квантовых когомологий
- Продолжение обычного кольца когомологий замкнутого симплектического многообразия
- Выпускается в двух версиях: small и big
- Выбор кольца коэффициентов влияет на структуру
-
Чашечное произведение квантовых когомологий
- Описывает пересечение подпространств “нечетким” образом
- Учитывает псевдоголоморфные кривые
- Инварианты Громова–Виттена фигурируют как коэффициенты
-
Кольцо Новикова
- Кодирует информацию о второй гомологии
- Позволяет записывать информацию о псевдоголоморфных кривых
- Λ – градуированное кольцо, называемое кольцом Новикова
-
Малые квантовые когомологии
- Элементы представляют собой конечные суммы
- Обычные когомологии встраиваются в QH*(X, Λ)
- Продукт small quantum cup расширяет продукт ordinary cup
-
Геометрическая интерпретация
- Псевдоголоморфные кривые в классе A = 0 – постоянные отображения
- Продукт quantum cup регистрирует пересечение для всех классов A
-
Пример
- Комплексная проективная плоскость с метрикой Фубини-Стьюда
- Единственные ненулевые инварианты Громова–Виттена – A = 0 или A = L
- Удобно использовать кольцо коэффициентов Z[q]
-
Свойства продукта small quantum cup
- Распределительный и Λ-билинейный
- Ассоциативный
- Удовлетворяет закону склеивания инвариантов Громова–Виттена
-
Связь с Дубровиным
- H с сопряжением пересечений – алгебра Фробениуса
- Произведение квантовой чашки – соединение на касательном расслоении
-
Большие квантовые когомологии
- Окрестность U, где ⟨ , ⟩ – алгебра Фробениуса
- Содержат все инварианты Громова–Виттена рода 0
- Используются для перечислительной геометрии
-
Рекомендации
- Макдафф, Дуса и Саламон, Дитмар (2004)
- Пиунихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Маттиас (1996)