Оглавление
Квазинорма
-
Определение квазинормы
- Квазинорма удовлетворяет аксиомам нормы, за исключением неравенства треугольника.
- Неравенство треугольника заменяется на ‖x + y‖ ≤ K(‖x‖ + ‖y‖) для некоторых K > 1.
-
Квази-полунорма
- Квази-полунорма удовлетворяет условиям неотрицательности, абсолютной однородности и положительности.
- Если k = 1, неравенство треугольника сводится к обычному.
-
Квазинормированное векторное пространство
- Пара (X, p) называется квази-полунормированным векторным пространством.
- Если квази-полунорма является квазинормой, пространство называется квазинормированным.
-
Множитель
- Нижняя граница всех значений k, удовлетворяющих условию (3), называется множителем p.
- Норма (полунорма) — это квазинорма (квази-полунорма) с множителем 1.
-
Топология
- Квазинорма индуцирует векторную топологию на X.
- Топологическое векторное пространство с такой топологией называется квазинормированным.
- Каждое квазинормированное пространство псевдометризуемо.
-
Связанные определения
- Квазинормированная алгебра — это алгебра с постоянной K > 0, удовлетворяющей ‖x y‖ ≤ K‖x‖ ⋅ ‖y‖.
- Полная квазинормированная алгебра называется квазибанаховой алгеброй.
-
Характеристики
- Топологическое векторное пространство является квазинормированным тогда и только тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность начала координат.
-
Примеры
- Каждое нормированное пространство является квазинормированным.
- Lp пространства для 0 < p < 1 являются квазинормированными, но не поддаются нормированию.
- Lp( [0,1]) является полным метризуемым TVS, но не локально выпуклым.
-
Смотрите также
- Метризуемое топологическое векторное пространство.
- Норма (математика).
- Полунорма.
- Топологическое векторное пространство.