Оглавление
Квазинормальная подгруппа
-
Определение квазинормальной подгруппы
- Квазинормальная подгруппа коммутирует с любой другой подгруппой относительно произведения подгрупп.
- Термин введен Эйстейном Оре в 1937 году.
-
Коммутация подгрупп
- Две подгруппы коммутируют, если элемент из первой подгруппы, умноженный на элемент второй подгруппы, может быть записан как элемент второй подгруппы, умноженный на элемент первой подгруппы.
- Пример: HK = KH, где hk = k’h’ с h ∈ H и k ∈ K.
-
Нормальные и квазинормальные подгруппы
- Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной.
- Обратное неверно, например, расширение циклического p-сгруппировать по другому циклу p-группа для одного и того же простого числа имеет квазинормальные подгруппы, но не все подгруппы нормальны.
-
Модулярные и сопряженно-перестановочные подгруппы
- Каждая квазинормальная подгруппа является модулярной подгруппой.
- Сопряженная перестановочная подгруппа коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами.
- Каждая квазинормальная подгруппа является сопряженно-перестановочной.
-
Квазинормальные подгруппы в конечных группах
- Каждая квазинормальная подгруппа конечной группы является субнормальной подгруппой.
- Подгруппа H конечной группы G перестановочна тогда и только тогда, когда H является одновременно модулярной и субнормальной в G.
-
PT-группы
- Перестановочность не является транзитивным отношением.
- Группы, в которых перестановочность транзитивна, называются PT-группами.