Лагранжиан (теория поля)

• Основы лагранжевой механики

  • Лагранжева механика — это метод описания движения системы с использованием лагранжиана. 
  • Лагранжиан — это функция, которая описывает движение системы в терминах обобщенных координат и их производных. 
  • Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают движение системы как функцию времени, используя лагранжиан. 

• Примеры лагранжианов

  • Ньютоновская гравитация: Лагранжиан описывает движение частиц в гравитационном поле. 
  • Скалярное поле: Лагранжиан описывает скалярное поле, движущееся в потенциальном поле. 
  • Сигма-модель: Лагранжиан описывает движение точечной частицы в римановом многообразии. 
  • Электромагнетизм в специальной теории относительности: Лагранжиан описывает взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. 
  • Теория Черна-Саймонса: Лагранжиан описывает одномерное взаимодействие в заданной геометрии контакта. 
  • Теория Гинзбурга-Ландау: Лагранжиан объединяет скалярное поле и действие Янга-Миллса. 
  • Квантовый электродинамический лагранжиан: Лагранжиан объединяет поле Дирака и электродинамику. 
  • Квантовый хромодинамический лагранжиан: Лагранжиан объединяет массивные спиноры Дирака и действие Янга-Миллса. 
  • Эйнштейновская гравитация: Лагранжиан описывает гравитационное поле в присутствии материи. 
  • Электромагнетизм в общей теории относительности: Лагранжиан включает действие Эйнштейна-Гильберта. 

• Дополнительные примеры и теории

  • Модель BF: Лагранжиан описывает систему с тривиальной динамикой на плоском пространстве-времени. 
  • Топологические теории поля: Лагранжианы используются для описания систем с нетривиальными решениями. 

• Вариационное исчисление и уравнения Эйлера-Лагранжа

  • Вариационное исчисление — это метод нахождения экстремумов функционала, который включает в себя лагранжиан. 
  • Уравнения Эйлера-Лагранжа описывают движение системы как функцию времени, используя лагранжиан и его производные.