Оглавление [Скрыть]
- 1 Линейная система делителей
- 1.1 Линейные системы делителей
- 1.2 Определение линейной эквивалентности
- 1.3 Линейные системы и линейные связки
- 1.4 Примеры линейных систем
- 1.5 Линейные системы гиперповерхностей
- 1.6 Линейные системы в бирациональной геометрии
- 1.7 Базовый локус линейной системы
- 1.8 Базовый локус и пересечение
- 1.9 Линейные системы и пучки
- 1.10 Пример: карандаш Лефшеца
- 1.11 Карта, определяемая линейной системой
- 1.12 Линейная система, определяемая отображением
- 1.13 O(1) о проективном многообразии
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Линейная система делителей
Линейная система делителей
-
Линейные системы делителей
- Линейные системы делителей обобщают понятие семейства кривых.
- Размерность линейной системы соответствует числу параметров семейства.
- Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются карандашом, сеткой или паутиной.
-
Определение линейной эквивалентности
- Два делителя D и E линейно эквивалентны, если существует ненулевая рациональная функция f на X, такая что D = E + (f).
- Полная линейная система на X — это совокупность всех эффективных делителей, линейно эквивалентных заданному делителю D.
-
Линейные системы и линейные связки
- Линейные системы могут быть представлены с помощью линейных связок или обратимых пучков.
- Делители D соответствуют линейным расслоениям, а линейная эквивалентность означает изоморфизм линейных расслоений.
-
Примеры линейных систем
- Линейная эквивалентность на примере линейного пучка O(2) на P3.
- Линейные системы на кривых, такие как канонический делитель K.
- Гиперэллиптические кривые и их линейные системы.
-
Линейные системы гиперповерхностей
- Линейные системы гиперповерхностей в проективном пространстве.
- Линейная система конических фигур.
-
Линейные системы в бирациональной геометрии
- Линейные системы стали основным инструментом бирациональной геометрии.
- Вычисление размерностей и работа с многообразиями с особыми точками.
-
Базовый локус линейной системы
- Базовый локус линейной системы — это подмногообразие точек, общих для всех делителей в системе.
- Базовый локус может быть набором или структурным пучком.
- Базовый локус используется для определения класса делителей Картье.
-
Базовый локус и пересечение
- Базовый локус класса делителей |D| содержит кривые, пересекающие его должным образом.
- Для проверки правильности класса достаточно вычислить число пересечений с базовым локусом.
- Чем меньше базовый локус, тем более вероятно, что класс является nef.
-
Линейные системы и пучки
- Полная линейная система |D| рассматривается как линейный пучок O(D) на X.
- Базовый локус |D| является набором общих нулей всех разделов O(D).
- Пакет генерируется глобально, если базовый локус пуст.
-
Пример: карандаш Лефшеца
- Карандаш Лефшеца p: X → P1 задается двумя общими разделами f, g.
- Базовый локус системы делителей — схема, заданная исчезающим локусом f, g.
-
Карта, определяемая линейной системой
- Каждая линейная система определяет морфизм от дополнения базового локуса к проективному пространству.
- Для линейного расслоения L и векторного подпространства V, существует замкнутое погружение V × X.
-
Линейная система, определяемая отображением
- Каждый морфизм от алгебраического многообразия к проективному пространству определяет линейную систему.
- Для закрытого погружения f: Y
X существует откат линейной системы d на X к Y.
-
O(1) о проективном многообразии
- Проективное многообразие X, встроенное в Pr, имеет естественную линейную систему O(1) = O(X) ⊗ O(P1)O(P1)(1).
- Это посылает сигнал x ∈ X в соответствующую точку [x0:⋯:xr] ∈ Pr.