Локальная жесткость
-
Основы теории локальной жесткости
- Локальная жесткость — это теоремы, которые показывают, что малые деформации подгрупп в группах Ли всегда тривиальны.
- Она отличается от обычной жесткости и слабее, но чаще встречается.
-
История и развитие
- Первая теорема была доказана Атле Сельбергом для унимодулярных групп.
- Эудженио Калаби и Андре Вейль расширили теорему на все кокомпактные подгруппы полупростых групп Ли.
- Говард Гарланд и Мадабузи Сантанам Рагунатаном распространили результат на некомпактные решетки.
-
Определение и примеры
- Подгруппа
- Γ
- {\displaystyle \Гамма }
- группы
- G
- {\displaystyle G}
- деформируется, если существует элемент
- ρ
- {\displaystyle \rho }
- в
- H
- o
- m
- (
- ,
- )
- {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}
- , который не является тождественным.
- Решетка в простой группе Ли, которая не изоморфна
- S
- L
- 2
- R
- {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}
- или
- C
- {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})}
- , сохраняет локальную жесткость.
- Локальная жесткость не сохраняется для решеток в
- , если они не ограничены параболическими элементами.
- Для кокомпактных решеток в
-
Другие результаты и доказательства
- Существуют результаты локальной жесткости, которые не зависят от сверхжесткости.
- Однородная решетка в компактно сгенерированной топологической группе является локально жесткой.
- Неприводимая однородная решетка в
- A
- T
-
Доказательства теоремы
- Вейль использовал теорию когомологий для доказательства локальной жесткости.
- Геометрическое доказательство использует теорию Эресмана и Терстона.