Оглавление
- 1 Метрическое пространство
- 1.1 Определение метрического пространства
- 1.2 Примеры метрических пространств
- 1.3 Свойства метрических пространств
- 1.4 Подпространства метрических пространств
- 1.5 История метрических пространств
- 1.6 Топология метрического пространства
- 1.7 Полнота и сходимость
- 1.8 Ограниченные и полностью ограниченные пространства
- 1.9 Компактность
- 1.10 Функции между метрическими пространствами
- 1.11 Равномерная непрерывность
- 1.12 Карты Липшица и сжатия
- 1.13 Квазиизометрии
- 1.14 Понятия эквивалентности метрических пространств
- 1.15 Метрические пространства с дополнительной структурой
- 1.16 Пробелы длины
- 1.17 Римановы многообразия
- 1.18 Метрические измерительные пространства
- 1.19 Фрактальные метрические пространства
- 1.20 Обобщение кривизны Риччи
- 1.21 Графики и конечные метрические пространства
- 1.22 Метрические вложения и аппроксимации
- 1.23 Расстояния между математическими объектами
- 1.24 Расстояние Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
- 1.25 Различные примеры
- 1.26 Британская железнодорожная метрика
- 1.27 Метрические пространства продуктов
- 1.28 Фактор-метрические пространства
- 1.29 Обобщения метрических пространств
- 1.30 Расширенные показатели
- 1.31 Показатели, оцениваемые в других структурах
- 1.32 Псевдометрия и квазиметрия
- 1.33 Метаметрика
- 1.34 Метаметрика и визуальная метаметрика
- 1.35 Полуметрические показатели
- 1.36 Предварительные измерения
- 1.37 Псевдоквазиметрия
- 1.38 Показатели для мультимножеств
- 1.39 Полный текст статьи:
- 2 Метрическое пространство
Метрическое пространство
-
Определение метрического пространства
- Метрическое пространство — это множество с функцией расстояния между его элементами.
- Функция расстояния называется метрикой.
- Метрические пространства используются в математическом анализе и геометрии.
-
Примеры метрических пространств
- Евклидово пространство с обычным расстоянием.
- Сфера с угловым расстоянием.
- Гиперболическая плоскость.
- Метрика Хэмминга для строк символов.
-
Свойства метрических пространств
- Метрические пространства обладают аксиомами, такими как положительность, симметрия и неравенство треугольника.
- Метрики могут быть интерпретированы как стоимость перехода или степень различия.
-
Подпространства метрических пространств
- Подмножества метрических пространств также могут быть метрическими пространствами.
- Индуцированная метрика определяется как функция расстояния на подмножестве.
-
История метрических пространств
- Артур Кейли расширил метрические понятия на проективное пространство.
- Рене Морис Фреше и Феликс Хаусдорф внесли значительный вклад в развитие метрических пространств.
- Метрические пространства стали центральной частью современной математики, влияя на различные области.
-
Топология метрического пространства
- Открытый шар определяется как набор точек, находящихся на расстоянии не более r от данной точки.
- Окрестность точки — это множество, содержащее открытый шар вокруг этой точки.
- Открытые множества — это объединения открытых шаров.
- Замкнутые множества — это дополнения к открытым множествам.
-
Полнота и сходимость
- Метрическое пространство полно, если каждая последовательность Коши сходится.
- Евклидовы пространства и R2 с другими метриками полны.
- Примеры неполных пространств: (0, 1) и рациональные числа.
- Каждое метрическое пространство имеет уникальное завершение, которое является полным пространством.
-
Ограниченные и полностью ограниченные пространства
- Метрическое пространство ограничено, если существует r, что ни одна пара точек не находится на расстоянии большем, чем r друг от друга.
- Пространство называется прекомпактным, если для каждого r существует конечное покрытие открытыми шарами радиуса r.
- Каждое полностью ограниченное пространство ограничено.
-
Компактность
- Метрическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
- Компактность важна для нахождения ограничений.
- Компактность эквивалентна полноте и тотальной ограниченности.
-
Функции между метрическими пространствами
- Изометрии сохраняют функцию расстояния и являются биективными.
- Непрерывные карты сохраняют топологическую структуру.
- Гомеоморфизмы — это непрерывные биекции, обратная которых также непрерывна.
- Равномерно непрерывные карты сохраняют расстояние между точками.
-
Равномерная непрерывность
- Равномерная непрерывность сохраняет метрические свойства, но не топологические.
- Теорема Гейне-Кантора утверждает, что каждое непрерывное отображение равномерно непрерывно на компактных метрических пространствах.
-
Карты Липшица и сжатия
- Карта Липшица увеличивает расстояния не более чем на ограниченный коэффициент.
- Сжатие – это карта, которая уменьшает расстояния.
- Теорема Банаха утверждает, что каждое сжатие на полном метрическом пространстве имеет единственную фиксированную точку.
-
Квазиизометрии
- Квазиизометрия сохраняет “крупномасштабную структуру” метрического пространства.
- Квазиизометрии не обязательно непрерывны.
- Квазиизометрические вложения сохраняют расстояния между точками.
-
Понятия эквивалентности метрических пространств
- Гомеоморфные пространства имеют гомеоморфизм.
- Униформные пространства имеют равномерный изоморфизм.
- Билипшицевы гомеоморфные пространства имеют липшицеву биекцию.
- Изометрические пространства имеют изометрию.
- Квазиизометрические пространства имеют квазиизометрию.
-
Метрические пространства с дополнительной структурой
- Нормированные векторные пространства имеют норму, индуцирующую метрику.
- Метрики, индуцированные нормой, инвариантны и однородны.
- Вложение Куратовского позволяет рассматривать метрические пространства как подпространства нормированных векторных пространств.
-
Пробелы длины
- Кривая в метрическом пространстве имеет длину, измеряемую как сумма расстояний между точками.
- Геодезические кривые – это кратчайшие пути между точками.
- Пространства длины имеют нижнюю границу длин путей между точками.
-
Римановы многообразия
- Риманово многообразие имеет риманов метрический тензор, определяющий длины касательных векторов.
- Длина пути определяется как интеграл от длины касательного вектора.
- Риманова метрика однозначно определяется функцией расстояния.
-
Метрические измерительные пространства
- Используют метрику и меру Лебега
- Обобщают идеи анализа
- Примеры: евклидовы пространства, римановы многообразия
-
Фрактальные метрические пространства
- Оснащены α-мерной мерой Хаусдорфа
- Не всегда имеют “очевидный” выбор меры
-
Обобщение кривизны Риччи
- Пространства RCD обобщают нижние границы кривизны Риччи
-
Графики и конечные метрические пространства
- Метрические пространства с дискретной топологией
- Конечные метрические пространства изучаются в комбинаторике и информатике
- Вложение в другие метрические пространства
-
Метрические вложения и аппроксимации
- Вложение сложных метрических пространств в древовидные метрики
- Улучшение алгоритмов аппроксимации
-
Расстояния между математическими объектами
- Функции в метрическом пространстве
- Создание метрик и редактирование расстояний
- Метрики Вассерштейна и ранговое расстояние
-
Расстояние Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
- Определяют метрики на подмножествах и метрических пространствах
- Расстояние Хаусдорфа между компактными множествами
- Расстояние Громова–Хаусдорфа между компактными метрическими пространствами
-
Различные примеры
- Метрики, основанные на возрастающих вогнутых функциях
- Узкий промежуток метрического пространства
- Показатель хода коня в Z2
-
Британская железнодорожная метрика
- Определяется как сумма расстояний между точками в нормированном векторном пространстве
- Используется для вычисления расстояний между филогенетическими деревьями
-
Метрические пространства продуктов
- Определяются как произведение метрических пространств с евклидовой нормой
- Метрика продукта определяется как сумма расстояний между точками в каждом метрическом пространстве
-
Фактор-метрические пространства
- Определяются как множества частных метрических пространств с псевдометрикой
- Псевдометрика определяется как нижняя граница расстояний между точками в классах эквивалентности
-
Обобщения метрических пространств
- Однородные пространства: пространства с равномерной непрерывностью, но без расстояний
- Зоны сближения: пространства с расстояниями от точки до заданного значения
- Пространства непрерывности: обобщение метрических пространств и последовательностей
-
Расширенные показатели
- Определяются как функции, принимающие значения на расширенных вещественных числах
- Могут быть заменены вещественнозначными метриками
-
Показатели, оцениваемые в других структурах
- Могут принимать значения в упорядоченных полях или направленных множествах
- Обобщенная ультраметрика: метрика с ультраметрическим неравенством вместо неравенства треугольника
-
Псевдометрия и квазиметрия
- Псевдометрия: функция, удовлетворяющая аксиомам метрики, кроме тождества неразличимых
- Квазиметрия: функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, кроме симметрии
-
Метаметрика
- Функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, кроме равенства расстояний между одинаковыми точками
-
Метаметрика и визуальная метаметрика
- Метаметрика возникает при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ.
- Визуальная метаметрика удовлетворяет d(x,x) = 0 для получения очков x на границе, но в остальном d(x,x) приблизительно расстояние от x к границе.
- Метаметрика была впервые определена Юсси Вяйсяля.
-
Полуметрические показатели
- Полуметрический на X является функцией d: X × X → R, удовлетворяющей первым трем аксиомам, но не обязательно неравенству треугольника.
- Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, такой как ρ-инфраметрическое неравенство.
- Полуметрические методы, удовлетворяющие этим условиям, иногда называют квазиметриками, неаметриками или инфраметриками.
-
Предварительные измерения
- Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики, удовлетворяющей d(x,y) ≥ 0 и d(x,x) = 0.
- Преметрика приводит к топологии, где r-шары являются открытыми множествами.
- Расстояние между двумя наборами A и B определяется как предварительная метрика в наборе мощностей предварительного пространства.
-
Псевдоквазиметрия
- Псевдоквазиметрический ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии.
- Для псевдоквазиметрических пространств открытая r-шары составляют основу открытых сетов.
- Пример псевдоквазиметрического пространства — множество {0,1} с предварительной оценкой d(0,1) = 1 и d(1,0) = 0.
-
Показатели для мультимножеств
- Понятие метрики может быть обобщено на мультимножества, где элемент может встречаться более одного раза.
- Функция d на множестве непустых конечных мультимножеств элементов множества M является метрикой, если d(X) = 0, если все элементы X равны, и d(X) > 0 в противном случае.
- Примеры метрик для мультимножеств включают информационное расстояние и нормализованное расстояние сжатия.